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不完全性定理 ユークリッド幾何学 公理

専門家の方にお聞きしたいのですが、不完全性定理でいう「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。」において、

ユークリッド幾何学における証明も反証もできない命題=ユークリッド幾何学の5つの公理

ということでよろしいでしょうか?? また、ユークリッド幾何学の5つの公理以外には、ユークリッド幾何学において証明も反証もできない命題は存在しないと考えていましたが、正しいでしょうか?

投稿日時 - 2009-12-15 10:28:50

QNo.5523858

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回答(8)

ANo.8

alice38さんに質問です。(#2の「自然数論を含む」について)
原論の5公理5公準から判断して、初等ユークリッド幾何には数論が含まれないと思っていました。原論には確かに数論もあるけれど幾何への絡みが読み取れませんでした。線の長さ、面積について定義してある部分をお教え願えないでしょうか。本来なら、別に質問を立てるべきところですが、質問者の方にも関係することなので、なにとぞよろしくお願いいたします。


それと、#7の「真だが証明不能」の解釈については少し疑問があります。
第一不完全性定理では「証明も反証もできない命題」と言っているだけで真偽性には触れていません。多分、
「Gか¬Gのどちらかは真のはずなのに、Gも¬Gも証明できない」→「真だが証明不能」ということだと思います。
ですので、第5公理抜きの「幾何学」における「平行線公理」も該当すると思います。ただゲーデルは自己言及命題を使って証明しているので、Ga111の言うように平行線公理を不完全性定理にあえて結びつけるのは妥当ではないと考えます。

投稿日時 - 2009-12-16 22:37:43

補足

あなた、ここでずれた質問をするのは失礼だと思いませんか? 「専門家の方にお聞きしたいのですが、」を無視するひとがほとんどですが、特にあなたにはたいへん迷惑しているのですよ。別に質問を立てるべきところです。これでクローズします。

投稿日時 - 2009-12-16 22:58:30

お礼

「真偽決定不可命題を具体的に挙げ」ているサイトを発見しました。よって、公理と不完全性定理の理解は現時点では私の間違いと考えております。この場で、みなさまのご回答にお礼申し上げます。

http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Examples_of_undecidable_statements

In 1973, the Whitehead problem in group theory was shown to be undecidable, in the first sense of the term, in standard set theory.

In 1977, Paris and Harrington proved that the Paris-Harrington principle, a version of the Ramsey theorem, is undecidable in the first-order axiomatization of arithmetic called Peano arithmetic, but can be proven to be true in the larger system of second-order arithmetic. Kirby and Paris later showed Goodstein's theorem, a statement about sequences of natural numbers somewhat simpler than the Paris-Harrington principle, to be undecidable in Peano arithmetic.

投稿日時 - 2009-12-19 14:36:26

ANo.7

平行線公理は、ユークリッド幾何の中で証明不能
なのではなく、
ユークリッド幾何から平行線公理を除いた体系
の中で証明不能なのですが…
まあ、言い回しの細部は置くとして、

平行線公理は、そのような体系の中で、
「真だが証明不能」な訳ではなく、
「真だか偽だか未定」なだけなので、
不完全性定理の例には当たりません。
「体系から独立」な命題と言いますね。

「真であること」と「証明可能であること」の
違いを理解すれば、その差が解るようになります。

投稿日時 - 2009-12-16 17:59:48

補足

「言い回しの細部は置くとして、」ではありません。言い回しの細部を含めて、No.5質疑応答と私の意見と矛盾するということです。

投稿日時 - 2009-12-16 22:56:58

お礼

この場をお借りします。参考までに、回答番号:No.8のお礼欄への追加として、ユークリッド幾何学に真偽決定不可命題はないようです。
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Limitations_of_G.C3.B6del.27s_theorems
Limitations of G?del's theorems
The conclusions of G?del's theorems only hold for the formal theories that satisfy the necessary hypotheses. Not all axiom systems satisfy these hypotheses, even when these systems have models that include the natural numbers as a subset. For example, there are first-order axiomatizations of Euclidean geometry and real closed fields that do not meet the hypotheses of G?del's theorems.

投稿日時 - 2009-12-19 15:06:57

ANo.6

「ユークリッド幾何学」には「平行線の公理」がありますから, 「平行線の公理」そのものは当然に証明可能です... というか, いかなる論理体系においても「公理」は証明可能です.
#5 では「幾何学の平行線の公理」を挙げていますが, ここでは「幾何学の」というのが決定的に重要です. 結論をいうと #3 で述べられている「平行線公理の独立性」, つまり「平行線の公理は*他の 4つの公理からは*導くことができない」ということが得られています.
あくまで「(ユークリッド幾何学から平行線の公理を除いた) 4つの公理からなる幾何学体系」のもとでは「平行線の公理」が証明も反証もできないということであって, 「ユークリッド幾何学において平行線の公理が決定不能である」とは一切述べていません.
ほかの「基礎的な事柄で『公理』になっている命題の中に見つけることが出来ると思います」の事例もすべてそうで, 「当該公理を除いた理論体系」において証明も反証もできない, ということです.

投稿日時 - 2009-12-16 15:32:52

ANo.5

ですから、ユークリッド幾何の公理群は、
「ユークリッド幾何の体系の中では」
証明不能ではないし、したがって、
不完全性定理の実例ではありえません。

「公理」とは何か、「証明可能」とは何か、
その定義を知ることが、
質問のような勘違いを卒業するために必要
だと説明している訳です。

投稿日時 - 2009-12-16 14:34:08

補足

決定不能命題の具体例を、という御質問に対して:
基礎的な事柄で「公理」になっている命題の中に見つけることが出来ると思います。幾何学の「平行線の公理」は歴史的に最も有名なものではないでしょうか。非ユークリッド幾何学が発展しましたから。
http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa3441331.html

これと矛盾するご意見ですね。実は私は上の立場なのです。他の方のご意見もあれば聞いてみようと思います。

投稿日時 - 2009-12-16 15:07:15

ANo.4

♯2 です。
ユークリッド幾何の公理は決まっているので、
だからこそ、個々の命題を
「それは公理だ」とか「それは公理でない」とか
確実に言うことができるのです。
決まっていなかったら、そんなこと言えませんね。

公理については、「それは公理だ」という
指摘が、そのまま証明として成立します。
それは、「証明可能であること」の定義の一部です。

投稿日時 - 2009-12-16 12:12:07

補足

公理の定義をお聞きしているのではなく、不完全性定理とユークリッド幾何学の公理の関係を問題にしているのですが??

投稿日時 - 2009-12-16 13:57:49

ANo.3

ANo.1です。
ユークリッド幾何学は自然数論を含むようですね。失礼しました。
# 完全性が証明されていたかと思ったけど、実数論上での相対的なものでした

最初の質問に戻って。
一般論として、公理は定理(証明可能な命題)なのです。
定理の証明は形式的には公理から定理に至る一定の条件を持った命題の列です。
特に、公理だけの1命題からなる列はそれ自体が証明になっています。
従って「ユークリッド幾何学の5つの公理」は、ユークリッド幾何学における証明できる命題(定理)です。
公理を証明も反証もできないという考え方は少なくとも一般的ではありません。

ユークリッド幾何学から5つの公理の一つを取り除いた体系で、その(取り除いた)公理が証明も反証もできないという話(公理の独立性)はあります。この公理間の関係性についてはヒルベルトがいろいろと書いているようですが、どの公理が独立で、どれが独立でないかまでは知りません。
# 平行線公理の独立性は有名ですけど

なお不完全性定理が成立するような体系では、証明も反証もできない命題(独立命題)は無数にあると思います。それは、体系に独立命題を追加してもなお不完全性定理の前提を満たし、更なる独立命題が存在するだろうからです。

投稿日時 - 2009-12-16 10:33:35

ANo.2

形式論理で言う証明可能な定理とは、
(1) 公理は定理である。
(2) 定理と推論規則によって証明できるものが定理である。
(3) 上記以外のものは定理でない。
と、定義されます。
何だか、数学的帰納法に似ていますね。

ですから、
公理は、「その命題は公理だ」と指摘するだけで
証明できたことになります。
「証明も反証もできない」のではなく、
証明も反証もする必要がないのです。

#1 の人も、
> それ自身が証明です。
と述べていますね。

蛇足ですが、ユークリッド幾何学上には、
線分の長さを数値とみなした算術の体系、いわゆる「線分算」
を構成することができ、
「自然数論を含む」と考えられます。

投稿日時 - 2009-12-15 23:36:24

補足

いや、ですからユークリッド幾何学の5公理は決まっているので、勝手に「その命題は公理だ」とはいえないのです。

投稿日時 - 2009-12-16 09:18:08

ANo.1

ユークリッド幾何学は「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系」ではないので不完全性定理の前提を満たなさいということで良かったかと。

「ユークリッド幾何学の5つの公理」はユークリッド幾何学の公理ですから、それ自身が証明です。
5公理に5公準を加えた10個を公理とすれば、ユークリッド幾何学は完全性が証明できるのではなかったでしょうか。

投稿日時 - 2009-12-15 16:27:18

補足

>ユークリッド幾何学は「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系」ではない

初めて聞きました。他の叙述もそうですが、私の考えていたこととぜんぜん違うので????です。疑問形で答えてもらっても困ります。申し訳ありませんが専門家の方にお聞きしたいのですが。

投稿日時 - 2009-12-15 19:24:46

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