こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

数学IIBの問題

高校数学IIBの問題です。ベクトルの問題です。解答解説をよろしくお願いします。

aを正の実数とする。三角形ABCの内部の点Pが5PAベクトル+aPBベクトル+PCベクトル=0ベクトルを満たしているとする。このときAPベクトル=a/a+1⃣ABベクトル+2⃣/a+3⃣ACベクトルが成り立つ。直線ABと辺BCとの交点Dが辺BCを1:8に内分するならば、a=4⃣, APベクトル=5⃣/6⃣7⃣ADベクトルとなる。このとき点Pは線分ADを8⃣:9⃣に内分する。さらに|ABベクトル|=2√2、|BCベクトル|=√10、ACベクトル=√6ならば、ABベクトル・ACベクトル=(10)である。
したがって、|APベクトル|²=(11)(12)(13)/(14)(15)となる。

投稿日時 - 2017-04-18 07:30:09

QNo.9318850

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

5PA + aPB + PC = 0
始点をAに変えると
-5AP + a(AB - AP) + AC - AP = 0
⇔(a + 6)AP = aAB + AC
⇔AP = aAB/(a + 6) + AC/(a + 6)・・・☆
(1) = 6, (2) = 1, (3) = 6

>直線ABと辺BCとの交点D

直線APと辺BCとの交点D
のミスだとすると

内分点のベクトルなので
AD=(8AB+AC)/(1+8)=8AB/9 +AC/9
また、直線の関係なのでAD=kAP・・・*
*を使うと
kAP=8AB/9 +AC/9
⇔AP=8AB/9k +AC/9k
ここで☆の式と係数を比較して、連立方程式を解くと
a/(a+6)=8/9k, 1/(a+6)=1/9k
⇔a/(a+6)=8/9k, a+6=9k(両辺の逆数を取る
⇔a/(a+6)=8/(a+6)(右式を左式に代入
⇔a=8, k=14/9
よって*よりAD=14AP/9
⇔AP=9AD/14
(4)=8.(5)=9.(6)=1.(7)=4
そして(8)=9.(9)=5

内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC
で求まる.
ここで余弦定理から
cos∠BAC=(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2|AB||AC|
なので代入して約分すると
内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC
=(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2
値を代入して
=(8+6-10)/2=2
(10)=2.

最後に☆の式をa=8を代入し、両辺二乗して
|AP|^2=(16|AB|^2)/49 +(4AB・AC)/49 +(|AC|^2)/196
値を代入し
=128/49 +8/49 +3/98
=256/98 +16/98 +3/98=275/98
(11)=2.(12)=7.(13)=5.(14)=9.(15)=8

投稿日時 - 2017-04-19 02:07:21

補足

直線ABと辺BCとの交点Dの部分が仰る通り、直線APと辺BCとの交点Dでした!すみません!
回答ありがとうございました!
返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした!

投稿日時 - 2017-04-20 17:27:44

お礼

問題の訂正もしていただいてありがとうございました!
わかりやすかったです!

投稿日時 - 2017-04-23 06:09:10

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(2)

ANo.1

5PA→ + aPB→ + PC→ = 0
PB→ = AB→ - AP→, PC→ = AC→ - AP→であるから、
5PA→ + a(AB→ - AP→) + AC→ - AP→ = 0→
-5AP→ + a(AB→ - AP→) + AC→ - AP→ = 0→
(a + 6)AP→ = aAB→ + AC→
AP→ = aAB→/(a + 6) + AC→/(a + 6)
選択肢1 = 6, 選択肢2 = 1, 選択肢3 = 6

>直線ABと辺BCとの交点D
これがちょっとイメージできません。

投稿日時 - 2017-04-18 09:56:53

補足

回答ありがとうございます!
返答が遅れてしまい申し訳ございません!
直線ABと辺BCとの交点Dの部分が直線APと辺BCとの交点Dでした!質問の方は誤りでした。すみません!

投稿日時 - 2017-04-20 17:29:38

あなたにオススメの質問