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オイラーの公式と微積分の関係

sinとcosは微積分において,ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが,このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をiとおくかcosをiと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。]

投稿日時 - 2005-05-16 09:24:38

QNo.1390471

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

すみません,
> (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる.



(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x) -- (*)となる

と訂正します.

投稿日時 - 2005-05-19 07:03:30

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回答(2)

ANo.1

オイラーの公式
e^{ix} = cos(x) + i sin(x)
の両辺をxで微分すると,
左辺の微分=ie^{ix}=-sin(x)+i cos(x)
右辺の微分=(cos(x))' + i (sin(x))'
よってsin,cosの微分は
(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる.

左辺の微分は指数関数の微分で,指数関数の肩に
ixがのっているため,このiが外に出てi倍になる,
つまりgauss座標での回転になるというわけです.

上の計算より,
オイラーの公式と指数関数の微分を知ってさえ
いれば(*)という面倒な式を忘れてしまっても
いいということになりました.

オイラーの公式とは,三角関数というやや面倒な
ものを指数関数という形式的にはよりわかりやすい
もの(但し肩にのる数は複素数になるが)に置き換え
られる,という便利な式であります.

投稿日時 - 2005-05-17 00:23:53

お礼

御懇切なご説明をどうもありがとうございます。勉強に際し,大切に参考にさせて頂きます。

投稿日時 - 2005-05-18 15:51:44

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