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解決済みの質問

数III 平均値の定理の問題で。

平均値の定理を用いて、次の極限値を求めよ。
lim(x→+0) (e^x-e^tanx)/(x-tanx)
(書き方が分かりにくくて申し訳ありません。)

と言う問題なのですが、解答の一番初めに、
「x→+0であるから、0<x<π/2としてよい。このとき、x<tanxが成り立つ」
と書かれているのですが、このx<tanxというのが良く分かりません。

学校の数学の先生に質問に行ったら、
「この解答間違ってますねぇ。tanx<xですよね。」とあっさり言われましたf(^^;)
しかし、正直、この先生は、授業中もミスが多いので、何とも信じ難く…(>_<;)
それで、念の為…と塾の先生に聞いてみたら「x<tanxだよ。」と言われたのです。
どちらが正しいのでしょうか…。(-_-;)
どちらが正しいにしても、塾の先生には、
「こういうのはグラフを書いたら分かるけど、覚えるもんかな」と言われたのですが、
何とも、グラフを書いても分からないし、まるまる覚えると言うのは何だか納得行かないのです…。

回答お願い致します。

投稿日時 - 2005-08-27 00:53:21

QNo.1607541

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

0<x<π/2 のとき、sin x < x < tanx
というのは、基礎的な事実で、たいていの数学IIIの教科書には出ている事柄と思います。教科書の「関数の極限」を扱っている節の、公式
lim[x→0](sin x / x ) = 1
の証明の際に使われる準公式です。
三角形と扇形の面積を用いた証明が載っているはずです。

「覚える必要はない、グラフを描けばわかることだから。」、という学校の先生の言われる趣旨は、「覚えなくてはいけないことはたくさんある。全部はいきなり覚え切れない。だから、覚える事柄は精選して覚えましょう」、ということでしょう。
実は私も、そういう関係があることは知っていましたが、今まで「覚えては」いませんでした。
けれど、こういう式は、「余力があったら覚えた方がいい」に決まっています。同じようなものは、三角関数の積を和にかえる公式、和を積にかえる公式、など、いくらでもあります。
試験の時にさっと作ればいいのだけど、もっともっと習熟して、いちいち公式を作らなくてもいいようにしたいものです。

それから、グラフを描いてもわからない、グラフがかけない、この事実が教科書のどこにのっているかわからない、覚えていない、というのは、あなたの勉強がまだ整理されていない、復習ができていない、ということから来ますので、大変ですががんばってください。

「0<x<π/2 のとき、x < tan x  を(微分法を用いて)証明せよ。」
  微分法は、不等式の証明に利用できます。
f(x) = tan x - x
とおくと、
f’(x) = (1/cos^2 x) - 1 = (1 - cos^2 x)/cos^2 x
ここで、
0<x<π/2 のとき、 0< cos x <1 だから、
 0<cos^2 x<1 であり、
f’(x) の分子=(1 - cos^2 x) > 0
f’(x) の分母=cos^2 x > 0
よって、0<x<π/2 のとき、常に f’(x) >0
で、関数この区間で f(x) は単調に増加する。
よって、0<x<π/2 のとき、
f(x) > f(0)
一方 f(0) = 0 - tan 0 = 0
であるから、
f(x) > 0
tan x - x > 0
x < tan x (0<x<π/2 のとき)

こういう証明は未習でしょうが、もう間もなく学習するはずです。

ということで、塾の先生の言われた方が正しいのですが、授業中もミスが多いという高校の先生、過労や健康減退ということがありますので、大目に見てあげてください。

投稿日時 - 2005-08-27 08:49:45

お礼

教科書には載っていませんが…f(^^;)
私の勉強不足には間違いないですね。勉強します。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2005-08-27 10:23:57

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回答(3)

ANo.2

グラフを書くとすぐにわかります。

x->0 のとき、 x≒sinx は知っていますか?

sinx の x=0 との交点は y=x と同じ(接している)のです。同様に tanx と x=0 の交点も y=x と同じ傾きで、x=tanx の方が上にあります。これはcosx が x->0 では1とみなせるから、 tanx=sinx/cosx であるので x->0 では tanx≒sinx≒x とできます。

数学的には tanx-x が正か負かを解けば x<tanx が証明できます。これはインボリュート関数と言い、微分の知識が必要になります。

http://www.khkgears.co.jp/cals/cals/khk/KHK501.html

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node96.html

投稿日時 - 2005-08-27 01:32:57

お礼

ありがとうございました。参考にさせて頂きます☆

投稿日時 - 2005-08-27 10:21:49

ANo.1

0<x<π/2 ⇒ x<tan(x) です。
グラフを見ればすぐわかりますが、証明は:

x=0のとき、tan(x)-x=0
(d/dx)(tan(x)-x)=(tan(x))^2 なので、0<x<π/2のときtan(x)-xは増加関数。
よって、0<x<π/2 ⇒ tan(x)-x>0

投稿日時 - 2005-08-27 01:16:27

お礼

じっくり考えてみます。ありがとうございます☆

投稿日時 - 2005-08-27 10:18:52