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解決済みの質問

公理と定義はどうちがうのでしょうか?

公理とは「仮定」のことです。
「仮定」とは「仮に定めたもの」です。
「仮に定めたもの」とは「仮に定義したもの」です。
「仮に定義すること」(公理)と「定義すること」(定義)は同じなのではないのでしょうか?

定義と公理のちがいは何でしょうか?
例えば行列のかけ算は縦と横を掛けて足しますけど、
それは定義です。
しかし、それを公理と呼んではいけないのでしょうか?

また、たとえば分配法則は公理ですが、これを定義と呼んではいけないのでしょうか?

投稿日時 - 2006-01-30 09:56:07

QNo.1930963

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

たびたび、失礼します。#15の補足拝見しました。
>その式の左辺が「未知」のものならその式は定義であり、

定義は式だけではなく、用語や概念、方法等に対してなされる決め事(名前付け)です。逆に新しい概念に名前をつける(定義する)ことによって、数学は発展、拡張しますから、その意味で引用部分は数学の本質をついていると言えます。
ただ、率直に言えば定義の場合は定める、決めるというようなキーワードが出てきますので、未知かどうかは判断しません(というか、できない。判断しようとすると、数学のあらゆる知識が必要になりますし、そういう知識を持った人はどこにもいないでしょう)

>「既知」のものならその式は公理である
公理ではなくて命題です。公理は命題の一種であり、
議論をする上での前提です。

投稿日時 - 2006-02-02 00:15:06

お礼

やっと理解できました。
僕が理解できなかったすべての原因は、
「イコールには2個の意味がある」
ということを考えずにいたことです。
イコールには命題を表すイコールと、定義を表すイコールの二個があるのです。ここを区別しなかったので、公理と定義が同じに見えてしまっていたのです。
レスをくださったみなさん、僕の疑問におつきあいいただき感謝しております。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2006-02-02 09:11:39

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回答(19)

ANo.19

No.17です。
僕の言ったことは絶対間違ってません。
なぜなら今習っているところなのですから。

投稿日時 - 2006-02-02 09:16:03

補足

>計算方法が定義なはずがありません。

nejiyamaさんは「「定義」の「定義」」を間違って理解しているのです。


導関数
f'(x)=lim(h→0)f(x+h)-f(x)/h
これも定義です。

内積
a・b=|a||b|cosθ
これも定義です。
(a、bはベクトルなので上に矢印があると思ってください)

マイナス×マイナス=プラス
これも定義です。
(これは僕は定理だと思っていたのですが、何かの本に定義だと書いてありました。)

投稿日時 - 2006-02-02 23:00:11

お礼

f ’(x)=lim(h→0)f(x+h)-f(x)/h

に訂正します。

投稿日時 - 2006-02-02 23:07:08

ANo.17

No.11です。
>ではいったい何なのでしょうか?
何でもありません。言ってみれば、計算方法とでもしましょうか。
つまり、"行列の掛け算の定義"という名前の計算方法ですよ。
もし行列の掛け算に定義という名前をつけるとすると、すっかり定義という言葉の意味が変わります。
何度も言いますが、定義というのは用語の説明のことですよ。

投稿日時 - 2006-02-01 13:38:23

補足

>何度も言いますが、定義というのは用語の説明のことですよ。

「行列の積」というものは「横と縦を掛けて足したもの」のことですよ、という用語の説明になってると思いますが。


行列の積の定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

行列の積を定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%82%92%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

はご覧になられなかったのでしょうか?
行列の積の「計算方法」を定義していますよ?
行列の積が定義でないとするなら何故こんなにもたくさんのホームページが検索されるのでしょうか?

その計算方法は定理でないことはnejiyamaさんも認めてますよね?
「定理でない」と言うことは言い換えれば「導かれたものではない」ということです。
「導かれたものではない」のなら、じゃあどこからその計算方法が出てきたんですか?
自然にわいて出てきたんですか?
違います。「誰かが決めた」んです。

nejiyamaさんの言い分だと、「導かれたものではない」かつ「決めたものでもない」ということですが、
じゃあその計算方法はどこから出て来たんですか?
自然にわいて出てきたんですか?

投稿日時 - 2006-02-01 21:27:54

お礼

nejiyamaさんは「定義の定義」を間違っているのです。

投稿日時 - 2006-02-02 09:04:39

ANo.16

No.13 です。
> 数の分配法則の式の左辺から右辺へ導く「やり方」を公理と呼び
> 行列の積の式の左辺から右辺を導く「やり方」を定義と呼ぶ。

この時点で既に勘違いがあったようですね。
公理は、(たとえば線形空間では)「分配法則が成立する」という表現です。
分配法則の計算方法は、もちろん、(分配法則の)定義です。

たとえば、No.13 で書いた「ペアノの公理を満たすもの」というのが、「自然数の定義」でもあります。

投稿日時 - 2006-02-01 06:14:19

ANo.15

2×3=6は「2と3をかけたものは6である」と言う
命題です。これは、すぐわかります。

次に、A×B=Cを考えます。

これは、「AとBをかけたものはCである」と言う命題と解釈できますし、「AとBをかけたものをCと定める」と言う
定義とも解釈できます。(定義の場合は、C=A×Bと書く場合が多いですが)

要するに、A×B=Cと言う形からだけでは、どちらとも判断できない、従って、形式だけで判断しないで、文脈に則り、きちんと解釈(内容を理解)する事が重要です。

投稿日時 - 2006-02-01 00:32:25

補足

なるほど。
確かに=(イコール)には2個の意味がありますね。
やっと理解できたかもしれません。
ちょっと説明してみます。

<ケース1>
行列の足し算引き算しか習ってない高校生が、教科書の次のページをめくると行列の積ABというのを目にした。この時点で、この高校生は、行列の積「AB」というのを「初めて目にした」ことになる。

<ケース2>
数のかけ算をマスターした小学2年生が3×(4+5)というのを目にした。この小学生は分配法則など知らない。しかし、この小学生にとって「3×(4+5)」というのは「初めて見るものではない」。この小学生は4+5をまず計算し、次に3をかけ算して答えをだすであろう。分配法則など使わずに。



つまり、ある式があって、それが公理か定義かわからない場合、
その式の左辺が「未知」のものならその式は定義であり、
その式の左辺が「既知」のものならその式は公理である

こういう理解であってますでしょうか?

投稿日時 - 2006-02-01 09:26:11

ANo.14

「2×3=6は定義である」ということに対して、少し書かせていただきます。

まず、この式が定義だとすると、無限にある掛け算の式を一つ一つ定義していかなければなりません。
それゆえに「2×3=6は定義でない」と考えます。

ここで定義されているものは、“×”と“=”の記号と自然数で、
“×”は「“×”の左にある数を“×”の右の個数だけ足しなさい」という約束、
“=”は「“=”の左右にある数が同じものである」という約束であると思います。

すなわち、“2+2+2=6”のことを“2×3=6”と書き直しただけです。

この式では“2”を“3回”だけ足せばいいのでそれほど苦労はありませんが、
足す数が大きくなれば、書く方も読む方(見る方)も苦労します。
それゆえに、“×”の記号を使って、何回足してあるのかがわかるようにしてあるのだと思います。

もちろんこの定義は自然数全体の集合でしか成り立ちませんので、
実数や虚数を含む複素数全体の集合では、
別の定義(定義の拡張)が必要になってきます。

このように考えると、一般の横と縦を掛けて足す行列の掛け算は定義だと思います。
このように定義することで、一次変換や連立方程式などにも応用することができます。

また、計算しやすいように各成分同士の積を行列の積として定義することもできますが、
この定義では実用性が無い(一次変換や連立方程式などには使えない)ので、
使用する必要がない(意味の無いものとして処理する)のだと思います。

分配法則については、左辺から右辺を導いているわけではなく、
前述の“=”の定義を使っているのだと思います。

まず、縦a,横b+cの長方形の面積を考えます。
この長方形の面積は、実際に図を書いてみると
2つの小さな長方形(縦a,横bと縦a,横c)の面積の和に
なっていることがわかります。

それゆえに「a(b+c)=ab+ac」となるのだと思います。

投稿日時 - 2006-02-01 00:28:02

ANo.13

No.10 です。
2×3=6については、これ自体は定義ではありません。「具体例」ですから。

いくつかの流儀がありますが、まず、「自然数」を公理を用いて生成します。自然数の公理は「ペアノの公理」として有名ですが(※この場合、分け合って、0も自然数に含めます)
・0という数が存在する
・ある、数が自然数であれば、その数の「次の数」が存在する
・0は、どの数の「次の数」でもない。
・二つの数が異なれば、それぞれの「次の数」も互いに異なる
・0がある性質を満たすとする。また、ある数がこの性質を満たすならば、「次の数」もその性質を満たすとき、すべての自然数がこの性質を満たす。
※最後の公理は、「数学的帰納法」として知られるものです。つまり、自然数で数学的帰納法が使えることは、公理から来ています。
ここまでが、自然数を生成する公理です。

これから、足し算を定義します。
「なんとか+1」は、「何とかの次の数」と定義します。
「あれ+これ」は、「あれ+(これの前の数)」の次の数と定義します。
(これで、なんとか+2が、なんとかの次の次の数と定義できる、以下、すべての自然数+自然数が定義できます)

さらにかけ算を定義します。
まず、
なんとか×1=なんとか
と定義します。
このあとは、
(あれ×これ)=(あれ×(これの前の数))+あれ
と定義します。(気持ちとしては、あれ を これ回足す。それを厳密に表現したものと思えばいいです)
2×3は、2×2+2です。(3の前の数は2だから)
2×2は、2×1+2です。(2の前の数は1だから)
最初の定義から、2×1=2です。
逆にたどって、2×2=2×1+2=4
2×3=2×2+1=4+2=6
こういう定義になります。

投稿日時 - 2006-01-31 23:04:44

補足

2×3=6については理解しました。
ところでまた話が戻るのですが、

数の分配法則の式の左辺から右辺へ導く「やり方」を公理と呼び
行列の積の式の左辺から右辺を導く「やり方」を定義と呼ぶ。
両者の違いはどこにあるのでしょうか?

投稿日時 - 2006-01-31 23:58:14

ANo.12

「公理」は「仮定」とは違います。
「仮に定めたもの」という表現は間違いです。

「公理」も「定義」も決め事という意味では同じです。
「公理」は数学の各分野における普遍的な決め事のことで
「定義」は普遍性の低い決め事です。
各分野で「公理」と呼ばれるものの数は少ないはずです。
その分野(体系)の幹となる「公理」は最初に決められるもので
後で増やすことは土台を揺るがすことになります。
定義は必要に応じていくらでも増やせます。
「定義」は有用な「定理」を導くための枝に該当します。

言い換えれば、選択する公理で異なる体系が構築できます。
『平行線の存在を肯定する公理』からユークリッド幾何学が構築され、
『平行線の存在を否定する公理』から非ユークリッド幾何学が構築されます。

注:
分配法則そのものは公理ではありません。
分配法則が成り立たない代数の体系も定義されています。
分配法則の成立・不成立は定義によります。

投稿日時 - 2006-01-31 16:07:00

補足

>分配法則の成立・不成立は定義によります。

例えば2×3=6でなかったら分配法則は成立しません。
つまりこういうことでしょうか?
例えば数の分配法則(a(b+c)=ab+ac))は左辺から右辺を導いているだけで、その右辺の計算方法までは言及していません。(abの計算方法とacの計算方法のことです)
abの計算方法は定義なのでしょうか?
(たとえば2×3=6というのは定義なのでしょうか?)
だとするなら行列の積が定義であることも納得できる気がします。
何故なら行列Aと行列Bの積の計算方法なのですから。

投稿日時 - 2006-01-31 22:08:31

ANo.11

NO.6です。すいません。行列の掛け算は命題ではありませんので、定義でも公理でも定理でもありませんでした。
ですが定義というのは絶対に違います。計算方法が定義なはずがありません。定義というのは、繰り返しますが、用語の説明のことです。
そして公理というのは、推論の基礎として無条件に認めるもののことです。
これに間違いはありません。

投稿日時 - 2006-01-31 15:14:35

補足

>行列の掛け算は命題ではありませんので、定義でも公理でも定理でもありませんでした。

ではいったい何なのでしょうか?

>定義というのは絶対に違います。計算方法が定義なはずがありません。

下記のグーグル検索結果をご参照ください。
行列の積の定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

行列の積を定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%82%92%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

投稿日時 - 2006-01-31 21:16:34

ANo.10

まず、「線形代数」と「行列」は直接には関係ありません。線形代数のひとつの構成例が、行列です。

さて、線形代数とは(正確な用語は忘れたので……)
1)ベクトルと呼ばれるものが存在する
  ・ベクトルは互いに「足しあわせる」ことができる
  ・ベクトルは互いに「かける」ことができる
  ・ベクトルのかけ算と足し算の間には、分配法則が成立する
2)スカラー量が存在する
  ・スカラー量とベクトルはかけ算をすることができる
  ・スカラー量とベクトルの足し算の間には分配法則が成立する

こんな感じのものが、「線形代数の公理」です。

この公理さえ満たせば、どのようなものでも、線形代数の手法で取り扱うことができます。
そのひとつが「行列」です。

そして、線形代数の公理と矛盾しないように、行列相互の計算方法を決めたのが、行列における「定義」です。

また、公理は、相互に独立しており、他の公理や定義から証明することはできません。ユークリッドの平行線の公理が他の公理で置き換えられるのがよく知られた例です。

定義が正しいかどうかは、もとになる概念の公理と矛盾しないかどうかで確かめられます。すなわち、本当は、「行列の演算では分配法則が成立する」のではなく、線形代数の公理の要求に従って、行列の演算で、分配法則が成立するように、計算方法を定義した……ということになります。

公理が正しいかどうかを確かめるのは少々大変です。(公理が相互に独立していて、他の公理から証明することができないから)
公理が正しいかどうかは、一連の公理をもとにして、互いに矛盾する定理が証明できないかどうかという点で判断します。(公理の無矛盾性)

線形代数という枠組みを外して、「行列計算」という枠組みだけで数学を構成するのであれば、行列の計算方法を「公理」と呼んでもかまいません。
その計算方法が、妥当かどうかは、その計算方法を採用することで矛盾が発生しないかどうかでしか判断できなくなりますので。

枠組みを、線形代数の中の行列と考えたとき、行列に関する具体的な決めごとは、「定義」となります。

投稿日時 - 2006-01-31 13:14:52

補足

>線形代数の公理と矛盾しないように、行列相互の計算方法を決めたのが、行列における「定義」です。

ということは
「数の分配法則(公理)に矛盾しないように、数相互の計算方法を決めたのが数における積の定義。」
と言う風にも言い換えられると思います。
つまり2×3=6というのは定義ということでしょうか?
だとするなら行列の積も定義であると納得できる気がしてきました。

>、「行列計算」という枠組みだけで数学を構成するのであれば、行列の計算方法を「公理」と呼んでもかまいません。

これが僕の一番聞きたかったことです。

投稿日時 - 2006-01-31 22:02:38

ANo.9

しょうもないミスをしました。訂正します。

誤--定義は、前提となる命題、定義は用語や概念の

正--公理は、前提となる命題、定義は用語や概念の

投稿日時 - 2006-01-31 12:19:50

ANo.8

定義は、前提となる命題、定義は用語や概念の
意味を明確化する事です。
行列の積は命題になっていません。

投稿日時 - 2006-01-31 11:30:29

補足

行列のかけ算が命題でないのであれば
数のかけ算も命題でないということでしょうか?

つまり2×3=6は命題でないということになりますでしょうか?

投稿日時 - 2006-01-31 22:10:44

ANo.7

「定義」とは、「その言葉に含まれるものを分ける」もの。また、言葉の言いかえみたいなもの。
例えば、「奇数」を、「2で割り切れない整数」と定義すると、これ以降、「奇数」という文字が出てきたら、「2で割り切れない整数」と言い換えてもよい、ということです。
数学から離れると、「若者にアンケートをした」と報告があったとすると、「若者」という言葉の定義をしないとこの報告は意味がなくなります(何歳から何歳までを若者と呼ぶかなど)。その「若者」という文字に含まれるものを決めたのが「定義」です(人によって定義が代わる場合があります)。
一方、「公理」は、「数学で証明するにあたって、前提として仮定」したもの。
例えば、数学ではあらゆることが証明されているが、さかのぼっていけば公理に行き着きます。公理は証明できません(人間は無限にさかのぼれないため)。よって、公理が間違っていれば、この上に成り立っているものすべてが間違っているということになります。
つまり、「公理」は、さかのぼることをあきらめた結果のもので、無批判に認めざるを得ないものです。

投稿日時 - 2006-01-30 23:35:47

補足

>数学ではあらゆることが証明されているが、さかのぼっていけば公理に行き着きます。

線形代数でいろんな定理がありますけど、さかのぼっていけば「行列の積の計算方法」に行き着きませんか?
この計算方法を否定したら線形代数の定理はすべて破棄されます。

ですので僕には「行列の積の計算方法」と「数の分配法則」が最終的に行き着くものとして、同じに見えてしまうのです。

投稿日時 - 2006-01-30 23:49:38

ANo.6

公理と定義は絶対に混同してはいけません。
まず定義というのは、言葉の解説という解釈が正しいと思います。
つまり、
>例えば行列のかけ算は縦と横を掛けて足しますけど、
>それは定義です。
というのはむちゃくちゃです。
定理といったほうが近いと思います。
定義の例としては、「直線とは点の集合である」というのがそうです。

そして、公理というのは、そう決まっていることです。つまり、理屈は無いです。
例として、「直線上には少なくとも二つの点が存在する」。

まとめると公理という"理屈のない、そう決まっていること"から、導き出されるものが、定理です。その公理や定理の中の文章で、意味を決めるべきものを解説した文章のことを、定義というのです。
ですから、公理と定義というのはまったく別の質のものなのです。

何かわからない場合は、補足質問のところにお願いします。

投稿日時 - 2006-01-30 19:58:31

補足

>>例えば行列のかけ算は縦と横を掛けて足しますけど、
>>それは定義です。
>というのはむちゃくちゃです。
>定理といったほうが近いと思います。

これは絶対に違います。今本で確認しましたところ、「行列の積の定義」という題名で横と縦を掛けて足すやり方が書いてありました。
行列の積の計算の仕方はそう決めたことであり定義です。
高校の頃の授業の記憶でも先生が
「行列の積はどうしてこんな計算の仕方をするのか、証明してみろと言ってもダメですよ、そう決めただけなんですから」
と言っていたことを今でもはっきりと覚えています。
定理というのであれば証明できることになりますが、
そのような証明はできません。

投稿日時 - 2006-01-30 23:23:44

ANo.5

No.3さんも間違っているな。
> 「線は太さを持たない」
> 「点は大きさを持たない」
この辺は定義でも公理でもない。これらの記述は数学的には何も言っていないから。

あとNo.2で書いた「分配法則は公理」というのも何時でも言えることではなかったですね。
代数を公理系で与える場合は公理にしますが、構成的に構築した場合は証明できる定理になります。

行列の掛け算についてですが、要素の積和を使った計算式で定義するのでなく別の方法で行列の掛け算を定義して、その定義での掛け算と要素の積和の式が一致するという命題を作れば、その式は定理になります。
# 確認していませんが公理にはならないでしょう。

投稿日時 - 2006-01-30 19:22:43

補足

行列のかけ算の計算方法を「横と縦を掛けて足す」と「決めた(定義した)」
のであれば
分配法則(a(b+c)=ab+ac))について、
左辺のa(b+c)の計算方法を「カッコの外の数をカッコの中の数にそれぞれ掛けて足す」と「決めた(定義した)」
と言っていいような気がするのです。

>確認していませんが公理にはならないでしょう。

とのことですが、分配法則は公理になるのに何故行列の積は公理にならないのでしょうか?

投稿日時 - 2006-01-30 23:37:29

ANo.4

非数学屋の僕からのコメントが当たっていないかもしれませんが、、、ぱっと見でwatermelon7さんが疑問に思っている数学の問題に対して考えてみました。

「公理」とは、いろいろと条件(問題)を分岐させていくときりがないので、最初に、「どこどこの土俵で数学の話をします」と宣言するものではないでしょうか?その土俵の上で数学をしますと最初に宣言して、それ以外の補集合のことはひとまず考えないようにすると宣言が、「公理」ではなかったでしょうか?
そしてひとつ土俵が決まれば、たとえば引退したけど背の低い力士を「舞の海」と「定義」するとか、比較的イケ面の外国人力士を「琴欧州」と定義する、という感じで、用語を導入しているのではなかったでしょうか?

それでいうとrinkunさんが語っている「概念の省略コマンド」と同じことですが、、、、

もしかしたらこの数学を取る土俵のことも「定義する」で言うこともできなくはないかもしれませんが、それは数学のコミュニティーの用語の慣例があるので、なんともいえませんが、、、、

これってアドバイスになっていないかもなぁ。

投稿日時 - 2006-01-30 19:02:03

ANo.3

確かにNo.1さんの回答は違いますね。
公理は一種の定義です。「定義」のほうがより大きな概念を指示すると思ってください。
「定義」とは、勝手に決めたもので証明不要のものです。
「f(x)をこれこれしたものをf(x)の導関数と呼ぶ」など。
一方公理とは、数学の根幹をなす定義のことです。
「線は太さを持たない」とか「点は大きさを持たない」とか。
その定義でないと数学全体が成り立たなくなってしまうような根本的な定義が公理だと思ってください。
定義には「自身を除く約数の和と自身が等しいような自然数を完全数と呼ぶ」など、数学界全体から見ればどうってことないようなものも入っていますよね。

投稿日時 - 2006-01-30 16:11:04

補足

行列のかけ算が定義で、分配法則が公理であることの理由がいまいちわかりません。
行列のかけ算が定義なら、分配法則も定義と言っていいような気がしますし、
分配法則が公理なら、行列のかけ算も公理と言っていいような気がします。

投稿日時 - 2006-01-30 17:53:54

ANo.2

No.1さんのは間違ってますから。No.1で定義と言っているものが公理で、公理と言っているのは定理です。

定義は名前付けです。例えば「三本の直線で囲まれた図形」を三角形というとか。証明などで長い言い回しを毎回すると煩雑ですから簡単な言葉に置き換えるわけです。
これには正しいとか正しくないという概念はありません。一般的かどうかという話はありますけどね。

公理というのは証明の際に基盤にする言明(命題)です。論理的な証明を突き詰め証明で使う言明を更に証明することを繰り返すと最終的には循環論法に陥り絶対的な証明ということができなくなるので、何らかの基盤が必要です。そのために証明なしにあらかじめ「正しい」と決めた言明が公理です。

定理は公理を元に証明できる言明です。

ちなみに分配法則は公理ですが、この法則(a(b+c)=ab+ac))を分配法則と呼ぶというのは定義です。

投稿日時 - 2006-01-30 12:49:02

補足

>分配法則は公理ですが、この法則(a(b+c)=ab+ac))を分配法則と呼ぶというのは定義です。

とのことですが、行列のかけ算についてはその計算方法自体が定義となっています。
一方、分配法則のほうは計算方法自体は公理ですよね?
分配法則の左辺から右辺へ導くやりかたを定義と呼んではいけないのでしょうか?

投稿日時 - 2006-01-30 17:52:27

ANo.1

定義とは、人間が決めてやらなくっちゃいけないモノ。
直線とは何か、線分とは何か、平行とは何か…
ユークリッド数学では「平行な2本の直線は交わらない」、これ定義。
非ユークリッド数学では「平行な2本の直線は1点で交わる」とか「同じく、2点で交わる」とか。これ、定義。

公理とは、わざわざ人間が決めてやらなくたって
他の定義の数々から導き出すことができるモノ。

かな。

投稿日時 - 2006-01-30 10:02:45

補足

公理とは定義から導き出されるものなんですか?
僕は公理とは何からも導き出すことができないものだと思っていました。
どんな公理でもいいので、定義から公理を導いた例をおしえてくれませんか?よろしくお願いします

投稿日時 - 2006-01-30 10:15:14

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