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最大値と最小値の求めかた

0≦x≦πにおいて、関数f(x)=sin2x+a(sinx+cosx)の最大値、最小値を求める問題です。
aは正の定数とします。

f'(x)=2cos2x+a(cosx-sinx)
=2(cos^2x -sin^2x)+a(cosx-sinx)
=2(cos-sinx)(cosx+sinx)+a(cosx-sinx)
=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+a)
までは分かりました。

sinx+cosx=√2sin(x+45)
sinx-cosx=√2sin(x-45)

ですが、
・cosx-sinxはどのように考えればいいのですか?

(2cosx+2sinx+a)
は(2√2sin(x+1/4π)+a)と表すことはできましたが
cosx-sinxがわかりません。

この後どのように考えればいいのでしょうか?

投稿日時 - 2006-04-03 10:10:56

QNo.2068509

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回答(12)

ANo.12

boku115さん

その後二次関数の勉強は進んでいますか?

今までのあなたは基礎勉強なしにどんどん問題を解いていっていたような気がします。そして、わからない問題がたくさん出てくる。で、質問を繰り返した。
今までのあなたはこんな感じです。


家の作り方はよくわからないけど、あなたは家がほしかったのでとりあえず家を作ってみた。けれど、家のつくりがいまいちよくなくて雨漏りがしてきた。雨漏りの直し方を知っている近所の人にも手伝ってもらいつつ、長い時間をかけて雨漏りをしているところを直した。しばらくすると、別の場所で雨漏りがしてきた。再び近所の人を呼んでもう一度雨漏りを直した。今回はあまりひどくなく、2日で雨漏りは直った。2~3日するとまた別の場所で雨漏りが見つかった。今回は周りの人たちに協力してもらっても雨漏りがしなくなるまでに1ヶ月かかってしまった。しかし、1週間もしないうちにまた雨漏りがした。周りの人たちに頼もうとしたが、「いつ全ての雨漏りが直るかわからない君の家をもう直す気にはなれない」と言われてしまった。しかし、あなたは新たに見つかったその雨漏りを直しに行く・・


この方法で雨漏りが本当になくなる日が来るのでしょうか?私はきっとこないのではないかと思います。なぜなら、最初に作った家をしっかり作ったわけではないので雨漏りをする可能性は家全体にあるのだから。

本当に雨漏りがしない家を作りたいのなら、まず初めからきちんと設計した家を作っておかなければならないんです。そうすれば、たとえ雨漏りがしだしてもすぐに直すこともできるでしょう。また、きちんと家を設計する方法を知っていれば周りの人に頼らず、一人で直すこともできるかもしれない。


あなたが家の作り方をきちんと学んだつもりでも雨漏りが直らないときももちろんあります。そんなときにこそ、雨漏りを直す技術を知っている人たちの手を借りるのです。

まずはあなたの家がきちんと作られた家であることを示しましょう。周りの人たちは雨漏りが直ると信じているから雨漏りを直そうとしてくれるのです。雨漏りがいつまで経っても直らない家であることがわかれば
回りの人たちはまたあなたから去っていきます。

きちんと作られた家かどうかは雨漏りを直す段階でわかります。すぐに雨漏りが直ればきちんと作られた家であると判断するのです。しかし、なかなか雨漏りが直らないことがわかるときちんと作られた家かどうかには疑問が出てきて当然ですよね?

あなたの家がきちんと作られた雨漏りが直る家であることがわかれば「いつ全ての雨漏りが直るかわからない君の家をもう直す気にはなれない」と言った人たちも、きっとあなたを助けてくれるでしょう。

投稿日時 - 2006-04-08 16:29:01

ANo.11

>(1)はaの範囲の指定がないので分かりません。
何度も書くとおり今あなたはその勉強の真っ最中のはずです。今わからないのは当然です。

>答えは自分で見つけるんですね。
自分で見つけるというか、勉強をしていたら同じような問題にあたるはずです。それの応用です。

>答え合わせはして頂けないのでしょうか?
先ほど書いたとおり私が思う答えはあなたの勉強の成果です。それを見る分には見ますが、どんな答えでも正解です。

投稿日時 - 2006-04-05 22:21:19

ANo.10

>問題の答えは何ですか?
>もう一度考えます。
>(1)はaの範囲はないのですか?
>無限に広がってしまいます。
今「もう一度考え」る必要は全くないです。昨日も
>この問題は解けなくてもぜんぜんかまいません。
と書きましたよね?あなたは

>昨日アドバイスを頂き、二次関数から勉強をしています。

と私のアドバイスどおりに勉強しているわけですよね?では、「誰にも聞かずに自分の力で正解が導き出せる」ように勉強しているわけですから、答えを聞くのはは明らかに誤りです。


これはあなたの数学力を試す問題ではなく、あなたの努力を試す問題です。つまり、あなたが私のアドバイスどおりに自分で勉強し、あなたが導き出した答えなら、たとえそれが「解なし」であろうと、私は正解だと思います。極端な話を言えば、それが「やっぱりわかりませんでした」でも正解です。それが私の問への「答え」であるわけですから。


逆にこの問題を誰かに
>問題の答えは何ですか?
と聞くのは非常に「迷惑」です。あなたは私が今まであなたに割いた時間を全く無駄にしていることです。
あなたが本当に

>とても感謝しています。

>これからは、出来る限り質問をしないように頑張りたいと思います。

と思っているのなら、頑張って自分で二次関数を勉強してください。

投稿日時 - 2006-04-05 21:17:23

補足

(1)はaの範囲の指定がないので分かりません。

答えは自分で見つけるんですね。
分かりました。
ありがとうございます。
答え合わせはして頂けないのでしょうか?
自分で見つけるんですよね。
ごめんなさい。

投稿日時 - 2006-04-05 21:45:14

ANo.9

>2つの問題は難しくて解けないですが、できる限り頑張りたいと思います。
この問題は解けなくてもぜんぜんかまいません。


最初に

>最終的に以下の2つの問題が誰にも聞かずに自分の力で正解が導き出せることを目標に、(そしてその答えがあっていると自信を持っていうことができるように)まずは数学Iにある二次関数を勉強しましょう。

と書いたとおりあくまで「目標」です。逆にこの「2つの問題」だけ「できる限り頑張」られたら逆に困ります。



>解けなくてすいません。
なぜ「すいません」なんですか?
理解できません。
さきほど書いたとおりあくまで「目標」です。すでに解けるのだったら私が「目標」と書くわけないでしょう?
(深く考えると馬鹿にされてるとしか思えなくなってきます。)


私が出した問は「2つの問題が誰にも聞かずに自分の力で正解が導き出せることを目標に、(そしてその答えがあっていると自信を持っていうことができるように)まずは数学Iにある二次関数を勉強すること」です。現段階では当然正解ではありません。(一部正解部分もありますが)
「なんだ簡単な問題だったんじゃん」と思えるくらい二次関数を「できる限り頑張」って勉強してください。

投稿日時 - 2006-04-05 00:35:43

補足

問題の答えは何ですか?
もう一度考えます。
(1)はaの範囲はないのですか?
無限に広がってしまいます。

投稿日時 - 2006-04-05 06:05:03

ANo.8

数学は(今回の問題が二次関数の知識を前提としたように)ある程度の知識を前提として問題を解いていきます。今のあなたは割り算を知らずに分数をやろうとして、そのわからない分数の方について質問をしようとしています。

現在の問題集はまず一旦やめましょう。
数学は問題を解くためだけの勉強ではありません。

あなたが独学で(高校程度の)数学を学ばれているのなら、他の独学で学ぼうとしている方が質問しているスレにもあるように「チャート式」(数研出版?)をお勧めします。白、黄、青、赤などの種類がありますが、白と黄色のどちらかが一番やさしいので、どちらかを選択しましょう。

二次関数 三角比→数学I
三角関数 微分(三次関数か四次関数くらいまで)→数学II
微分(三角関数や対数関数)→数学III

で勉強することができます。まず数学Iから順に進んでいくといいでしょう。



今回の「f(x)=sin2x+a(sinx+cosx)の最大値、最小値」は二次関数の知識ありきの問題です。
最終的に以下の2つの問題が誰にも聞かずに自分の力で正解が導き出せることを目標に、(そしてその答えがあっていると自信を持っていうことができるように)まずは数学Iにある二次関数を勉強しましょう。


問1
y=f(x)=x^2+5x+6 において、xの定義域は a≦x≦a+1 (aは実数)である。
最大値、最小値を求めよ。

問2
y=f(x)=x^2-2bx+6(bは実数)において、xの定義域は 0≦x≦1 である。
最大値、最小値を求めよ。



現在のあなたの力にあった質問をして、それを理解しようとした質問ならば皆さん答えてくれるはずです。例えば、「独学でチャートをやっていて数Iの二次関数の~の部分でつまっています」というレベルならばOKです。しかし、「割り算がわからないけど、分数がやりたいので分数を教えてください」レベルの質問はこれからはやめましょう。

どのくらいのスパンで数学を勉強しなきゃいけないのかはわかりませんが、現在の問題集をいつか自分自身の手で誰にも聞かずに解いていくことを目標に基礎固めを地道にやっていきましょう!

投稿日時 - 2006-04-04 19:20:51

補足

ご指摘どうもありがとうございます。
2つの問題は難しくて解けないですが、できる限り頑張りたいと思います。

問1
y=f(x)=x^2+5x+6 において、xの定義域は a≦x≦a+1 (aは実数)である。
最大値、最小値を求めよ。

aの範囲がよくわからなかったので勝手きめてしまいました。
ごめんなさい。
y=f(x)=(x+5/2)゜2 -(1/4)
最小値mとして表すと
(i)
a≦2のとき
m=f(a+1)=(a+7/2)゜2 -(1/4)
(ii)
2≦a≦3のとき
m=f(5/2)=-1/4
(iii)
3≦aのとき
m=f(a)=(a+5/2)゜ -1

最大値Mとすると
(i)
a≦2のとき
M=f(a)=(a+5/2)゜2 -1
(ii)
2≦a≦3のとき
f(a)とf(a+1)のどちらが最大になっているかはっきりしないので
軸x=-5/2が左右どちらによっているか違ってくるので

(ii)(あ)
a≦(-5/2)≦(a+1)/2のとき
M=f(a+1)=(a+7/2)゜2 -(1/4)
(ii)(い)
(a+1)/2≦(-5/2)≦a+1
M=f(a)=(a+5/2)゜2 +1

(iii)
M=f(a+1)=(a+7/2)゜2 -(1/4)

問2
y=f(x)=x^2-2bx+6(bは実数)において、xの定義域は 0≦x≦1 である。
最大値、最小値を求めよ。

y=f(x)=x^2-2bx+6
=(x-b)゜2 +6ーb゜2

最小値mとして表すと
(i)
b≦0のとき
m=f(0)=6

(ii)
0≦b≦1のとき
m=f(b)=6-b゜2

(iii)
b≦1のとき
m=f(1)=-2b+7

Mを最大として表すと
(i)
b≦0のとき
M=f(1)=-2b+7

(ii)
0≦b≦1のとき
(ii)(あ)
0≦b≦(1/2)のとき
M=f(1)=-2b+7
(ii)(い)
1/2≦b≦1のとき
M=f(0)=6

(iii)b≦2のとき
M=f(0)=6


解けなくてすいません。

投稿日時 - 2006-04-04 21:16:25

ANo.7

>f(x)=x^2 (-1≦x≦2) の最大値・最小値を求めよ
>f'(x)=2x

>最大値
>f(2)=4
>最小値
>f(-1)=1
論外です。
まず、二次関数からはじめることをお勧めします。
この問がわからない人がもともとのsin,cosの問題や微分がわかるわけがありません。今の状態で最初のsin,cosの問題や微分の問題の解こうとするのは割り算を知らずに分数をやろうとするのと同じことです。まず、二次関数の勉強からはじめましょう。


ちなみに、

問:f(x)=x^2 (-1≦x≦2) の最大値・最小値を求めよ

の答えは
最大値 x=2のとき f(2)=4
最小値 x=0のとき f(0)=0
が正解です。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/graph/graph.htm
>はブロックされ見れません。
あなたの使っているPCの具合まで面倒を見切れません。

投稿日時 - 2006-04-04 13:41:17

補足

PCの心配をしてくれてありがとう。
サイトを教えて頂いたのに見れなくて本当にごめんなさい。
二次関数→三角関数→微分を勉強してみます。



最大値 x=2のとき f(2)=4
最小値 x=0のとき f(0)=0
もう一度確認をしました。
私の解き方は間違ってました。
ありがとうございます。

投稿日時 - 2006-04-04 15:59:38

ANo.6

>どうして、f'(0)=0を利用するのですか?
まずは参考書や下に書いた参考URL等で勉強して微分の使い方を学びましょう。これを聞くのは「割り算の仕方がわからないので教えてください」と聞いているのとほぼ変わりません。

微分については本当にわかった上で今の問題を解こうとしていますか?
例えば

問:f(x)=x^2 (-1≦x≦2) の最大値・最小値を求めよ

という問題を微分を使って解けますか??
(単純な二次関数ですが、二次関数として解いちゃだめですよ)
これが解けないならば上記の問題を微分で使って解こうとするのはまず無理です。(三角関数の微積分は数IIIの内容のはずです)

#ひとつ訂正しておきますが、f'(0)=0ではなく、f(0)の値、f(π)の値、そしてf'(α)=0となるαについてのf(α)の値です。「増減表」の書き方を勉強しましょう。



で、No.2さんの解き方は微分を使わずにこの問題を解くための技です。このとき方を用いると二次関数の問題に帰着するので覚えておいた方がいいでしょう。

>-1≦sinθ≦1を利用して
>-1≦√2*sin(x+π/4)≦1より
xの取りうる範囲を考えましょう。
0≦x≦π のとき sin(x+π/4)の取りうる範囲は本当に
-1≦sin(x+π/4)≦1 ですか??

>f(t)=t^2-1+at
>f'(t)=2t+a
せっかく二次関数の問題に帰着したのだから、

f(t)=(t+a/2)^2+1-a^2/4

として二次関数で解きましょう。
(微分で解きたいのならばまずは上のf(x)=x^2の場合を理解してからにしましょう)
tの取りうる範囲を考えて二次関数の軸のt=-a/2について場合わけするのはよく出てきますよね??

参考URL:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/graph/graph.htm

投稿日時 - 2006-04-03 23:32:53

補足

f(x)=x^2 (-1≦x≦2) の最大値・最小値を求めよ
f'(x)=2x

最大値
f(2)=4
最小値
f(-1)=1

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/graph/graph.htm
はブロックされ見れません。

投稿日時 - 2006-04-04 08:37:26

>もっと全体をよく見ると
>No.1 さんの回答に対して補足するつもりで
>ミスしただけかもしれませんよ.

それなら、もっと問題です。
私に対しても、No.1 さんに失礼ですから。

投稿日時 - 2006-04-03 16:42:40

補足

ごめんなさい。本当にごめんなさい。
迷惑をかけしてしまってごめんなさい。

muroto_misakiの解き方は

cosx-sinx = -(sinx-cosx)として考えると
-(sinx-cosx)=-√2・sin(x-π/4)と置けるので

f'(x)=-√2・sin(x+π/4)・( 2√2・sin(x+π/4) + a )
f'(0)=0より
-√2・sin(x-π/4)=0
sin(x-π/4)=0*ー√2
この後は分かりません
( 2√2・sin(x+π/4) + a )=0

mister_moonlightさんの方法から。

から
-1≦sinθ≦1を利用して
-1≦√2*sin(x+π/4)≦1より
-√2≦√2*sin(x+π/4)≦√2
t=√2*sin(x+π/4)
-√2≦t≦√2  ……(3)
f(t)=t^2-1+at
f'(t)=2t+a
-√2≦t≦√2  ……(3)
から
最大値
f(√2)=2√2+a
最小値
f(-√2)=-2√2+a


自信がありませんが。

投稿日時 - 2006-04-03 17:34:51

ANo.4

> f'(x)=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+a)
> =√2*sin(x+π/4)・( 2√2・sin(x+π/4) + a )
> からf'(0)=0について求めるんですね。
計算ミスでしょうか?
 -√2*sin(x-π/4)・( 2√2・sin(x+π/4) + a )
です.
ただ,定石は No.2 さんのやり方です.

No.2 さん
> 私の書き込みを良く読んでください。
もっと全体をよく見ると
No.1 さんの回答に対して補足するつもりで
ミスしただけかもしれませんよ.

投稿日時 - 2006-04-03 16:13:41

今までの貴方の書き込みを読むと、貴方の問題点は、人の書き込みを良く読まずに、自分勝手に解釈するところです。

私の書き込みを良く読んでください。

投稿日時 - 2006-04-03 15:35:32

これは、ごく定石化された問題です。

sinx+cosx=tとおき、両辺を2乗する。
t^2=(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2(sinx)(cosx)=1+sin2x。

sin2x+a(sinx+cosx)=t^2-1+at=(t+a/2)^2+1-a^2/4.‥‥(1)

t=sinx+cosx=√2*sin(x+π/4)‥‥(2)

(2)の値の範囲を定めて、2次函数(2)の最大値・最小値を考える。
あとは、軸のある場所によって最大値と最小値が変わってきます。

投稿日時 - 2006-04-03 14:11:50

補足

ありがとうございます。
f'(x)=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+a)
=√2*sin(x+π/4)・( 2√2・sin(x+π/4) + a )
からf'(0)=0について求めるんですね。

どうして、f'(0)=0を利用するのですか?
√2*sin(x+π/4)=0
sin(x+π/4)=0
sin=-45゜ですか?

投稿日時 - 2006-04-03 15:10:35

cosx-sinx = -(sinx-cosx)と考えてみては


その後はf'(x)=0となるxを求めて
増減表を書いて極大値と極小値を求めてから
f(0)とf(π)と比べて最大値最小値を求めてください。

投稿日時 - 2006-04-03 12:34:10