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解決済みの質問

確率について

「ヨット」というポーカーみたいなゲームなんですけど、サイコロを1回に5個振ったとき「全てがバラバラ(ノーペア)」「同じ目2個が1組(ワンペア)」「同じ目2個が2組(ツーペア)」「同じ目が3個で残りは別々の目」 「同じ目が3個で残り2個も同じ目(フルハウス)」「同じ目が4個(フォー)」「同じ目が5個(オール)」「目が4つ並んでいる(ショート)」 「目が5つ並んでいる(ロング)」のそれぞれの確率はどうやって求められるのでしょうか? 自分で頑張って考えてみたら2日間もかかったので...

後、このゲームにはルールがあって1回5個のサイコロを振った後、変えたい数のサイコロ(何個でも)はもう1回振ることができます。
その後に、もう1度変えたい数のサイコロを決めて振れます。すなわち、数を変えたければ計2回変えることができます。
そこで、オールという役(5個同じ数)を作りたいとき、オールが出来る確率は。1回目振った時⇒1分の1296
1回目変えた後⇒311分の23328 で合っていますか? 後、どういうふうに見つけるのがいいのでしょうか?
最後に、2回目変えた後の確率はどうやっても見つけることが出来ませんでした。  
見つけれるなら、方法も教えてください。

投稿日時 - 2006-04-30 19:40:36

QNo.2123438

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

間違えました。

2回ふりなおしたときのオールの確率=(1回振りなおしたときノーペアの確率+1回振りなおしたときショートの確率+1回振りなおしたときロングの確率)×1回でオールが出る確率+(1回振りなおしたときワンペアの確率+1回振りなおしたときツーペアの確率)×2)のオールの確率+(1回振りなおしたとき3つの確率+1回振りなおしたときフルハウスの確率)×3)のオールの確率+(1回振りなおしたときフォーの確率)×4)のオールの確率+1回ふりなおしたときのオールの確率

が正しいです。

もう一回「1回目からオールの確率」を足すと二重計上になっちゃいますね。。

投稿日時 - 2006-05-03 13:44:43

お礼

返信ありがとうございました。  
自分でも理解して解けるように頑張ってみます。

投稿日時 - 2006-05-05 16:09:48

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2人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(6)

ANo.5

そっか、中学範囲で2回目変えたときでしたか。

それは、ほぼ同様に

2回ふりなおしたときのオールの確率=(1回振りなおしたときノーペアの確率+1回振りなおしたときショートの確率+1回振りなおしたときロングの確率)×1回でオールが出る確率+(1回振りなおしたときワンペアの確率+1回振りなおしたときツーペアの確率)×2)のオールの確率+(1回振りなおしたとき3つの確率+1回振りなおしたときフルハウスの確率)×3)のオールの確率+(1回振りなおしたときフォーの確率)×4)のオールの確率+1回目からオールの確率+1回ふりなおしたときのオールの確率

です。ここで、

1回振りなおしたときノーペアの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がノーペアの確率

1回振りなおしたときショートの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がショートの確率

1回振りなおしたときロングの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がロングの確率

1回振りなおしたときワンペアの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がワンペアの確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)のワンペアの確率

1回振りなおしたときツーペアの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がワンペアの確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)のツーペアの確率

1回振りなおしたとき3つの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目が3つの確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)の3つの確率+(1回目が3つの確率+1回目がフルハウスの確率)×3)の3つの確率

1回振りなおしたときフルハウスの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がフルハウスの確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)のフルハウスの確率+(1回目が3つの確率+1回目がフルハウスの確率)×3)のフルハウスの確率

1回振りなおしたときフォーの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回目がフォーの確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)のフォーの確率+(1回目が3つの確率+1回目がフルハウスの確率)×3)のフォーの確率+1回目がフォーの確率×4)のフォーの確率

です。3回目、4回目等も全く同じやり方でできます。ただ、場合わけが多すぎてすごくめんどくさいですね。(ツーペアのときの矢印のように何個も増えます)


というわけで、No.4で書いた漸化式と言うものを使ってすっきり書くわけです。

投稿日時 - 2006-05-03 13:22:25

ANo.4

1回目以降については、方針だけ中学生範囲で書くと、まずは、ノーペアからオールまでの次の方針を考えてください。で、自分は

1) ノーペア、ショート、ロング→全部振りなおす
2) ワンペア、ツーペア→そろった2個を残す
3) 3つ、フルハウス→そろった3個を残す
4) フォー→そろった4個を残す

と考えました。それで、この4パターンについて、次に振ったときの確率を考えるんです。

すると、
1)
全部振りなおすと言うことは当然1回目と同じ

2)
ワンペア   60/216
ツーペア   60/216
3つ     60/216
フルハウス  20/216
フォー    15/216
オール     1/216

3)
3つ     20/36
フルハウス   5/36
フォー    10/36
オール     1/36

4)
フォー     5/6
オール     1/6

となります。

あとは、ツーペアのとき矢印でそっちの方向に何分の何でいくかと考えたのと同様に、

1回ふりなおしたときのオールの確率=(1回目がノーペアの確率+1回目がショートの確率+1回目がロングの確率)×1回でオールが出る確率+(1回目がワンペアの確率+1回目がツーペアの確率)×2)のオールの確率+(1回目が3つの確率+1回目がフルハウスの確率)×3)のオールの確率+(1回目がフォーの確率)×4)のオールの確率+1回目からオールの確率

で求まります。結果は221/17496になります。
----------------------
補足1
高校生になったら数列/漸化式と言うものを習います。
その考え方を利用すると、n回振ったときの確率を

ノーペア:An
ショート:Bn
ロング:Cn
ワンペア:Dn
ツーペア:En
3つ:Fn
フルハウス:Gn
フォー:Hn
オール:In

とおいて、

An+1=5/162(An+Bn+Cn)
Bn+1=5/162(An+Bn+Cn)
Cn+1=5/162(An+Bn+Cn)
Dn+1=25/54(An+Bn+Cn)+5/18(Dn+En)
En+1=25/108(An+Bn+Cn)+5/18(Dn+En)
Fn+1=25/162(An+Bn+Cn)+5/18(Dn+En)+5/9(Fn+Gn)
Gn+1=25/648(An+Bn+Cn)+5/54(Dn+En)+5/36(Fn+Gn)
Hn+1=25/1296(An+Bn+Cn)+5/72(Dn+En)+5/18(Fn+Gn)+5/6Hn
In+1=1/1296(An+Bn+Cn)+1/216(Dn+En)+1/36(Fn+Gn)+1/6Hn+In

という式が成り立ちます。(注:普通の高校生の問題ではこんなに何個も変数がある漸化式は出てきません。たぶん、下手な大学入試問題よりはるかに難しいです)

で、No.3で書いたとおり、

A1=40/1296
B1=40/1296
C1=40/1296
D1=600/1296
E1=300/1296
F1=200/1296
G1=50/1296
H1=25/1296
I1=1/1296

を代入してこれを解くと

An=Bn=Cn=(1/3)*(5/54)^n
Dn=(1/2)*(5/54)^n+(3/4)*(5/9)^n
En=-2*(5/54)^n+(3/4)*(5/9)^n
Fn=(61/78)*(5/54)^n-(13/4)*(5/9)^n+(106/39)*(25/36)^n
Gn=-(14/78)*(5/54)^n-(3/4)*(5/9)^n+(53/78)*(25/36)^n
Hn=-(1251/11232)*(5/54)^n+(29/8)*(5/9)^n-(265/39)*(25/36)^n+(315/96)*(5/6)^n
In=1+(55/67392)*(5/54)^(n-1)-(5/8)*(5/9)^(n-1)+(6625/2808)*(25/36)^(n-1)-(525/192)*(5/6)^(n-1)

となります。(注:相当な計算量が必要です。自分は最近計算が苦手になったので途中まちがえまくりました。)

高校になって極限を習ったらわかりますが、n→∞に持っていったとき、I∞=1となること、つまり、全部がオールになってしまうことがわかります。
(まぁ、エクセルで計算させたらn=19で9割を超え、n=87では1に見かけ上なってますけどね)

ちなみに、Inのところで、本当は1から全体を引けばいいわけだけど、わざと階差数列を計算して、定数項の和が1になったときにはホントすっきりしました。(まぁ、高校になってこの辺の勉強をしたらこの意味を考えてください)
----------------------
補足2
エクセルのA1~I1のセルに初項(A1=40/1296等)を入れ、
A2~I2のセルに

A2: =5/162*(A1+B1+C1)
B2: =5/162*(A1+B1+C1)
C2: =5/162*(A1+B1+C1)
D2: =25/54*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1)
E2: =25/108*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1)
F2: =25/162*(A1+B1+C1)+5/18*(D1+E1)+5/9*(F1+G1)
G2: =25/648*(A1+B1+C1)+5/54*(D1+E1)+5/36*(F1+G1)
H2: =25/1296*(A1+B1+C1)+5/72*(D1+E1)+5/18*(F1+G1)+5/6*H1
I2: =1/1296*(A1+B1+C1)+1/216*(D1+E1)+1/36*(F1+G1)+1/6*H1+I1

と言う風に漸化式の式を書いたあと、それらをA3~I3の方向へのばしていくと、すぐに値だけもとまってグラフがかけます。まぁ、補足1で書いた一般項は当然求められないんですけどね。

投稿日時 - 2006-05-03 12:57:56

ANo.3

そうですか、中学生ですか。中学生にしてはなかなか難しい問題を考えてますね。中学生の確率の問題なんてサイコロ2個が限度だと思っていました。


>^と!の意味が調べてもよく分からないので... 本当にすいません。
とりあえず説明しておきましょう。
6^5とは6を5回かけるという意味です。
つまり6^5=6×6×6×6×6=7776と言う意味です。
で、n!とはnより1小さい数をどんどんかけていく(1になるまで)という意味です。
つまり、5!=5×4×3×2×1=120と言う意味です。

>目が4つ並んでいる(ショート)」と「目が5つ並んでいる(ロング)」の確率を求めることが出来なった
これはノーペアの考え方が間違っているからです。
あなたが考えているのは最初に1~6のうちどれかを引いて次にそのうちの出たもの以外を引いて・・という考え方ですよね?

でも、よく考えてください。No.1の回答にも書きましたが、
「全てがバラバラ(ノーペア)」
これは(1,2,4,5,6)または(1,2,3,5,6)の2パターン
「目が4つ並んでいる(ショート)」
これは(1,3,4,5,6)または(1,2,3,4,6)の2パターン
「目が5つ並んでいる(ロング)」
これは(1,2,3,4,5)または(2,3,4,5,6)の2パターン
に分かれるわけです。要するに、1,2,3と引いたら次に4,5,6のどれを引いてもノーペアになるわけじゃないんです。(ノーペアは5か6を強制しますね)つまり、あなたが考えたノーペアの考え方の中にショートとロングのパターンも含まれています。

というわけで、このヒントでもう一度考えてください。

正解は

ノーペア   40/1296
ワンペア  600/1296
ツーペア  300/1296
3つ    200/1296
フルハウス  50/1296
フォー    25/1296
オール     1/1296
ショート   40/1296
ロング    40/1296

なんでほとんど正解ですね。


>例えば「同じ目が3個で残り2個も同じ目(フルハウス)」なら残りの2個だけ変える、「同じ目が5個(オール)」なら何も変えない場合です。 これなら2回目変えた後の確率を求めることが出来るのでしょうか?
ノーペア、ショート、ロングは全部振りなおすか1個残すかって言う問題もありますけどね(まぁ、計算したら同じ確率になるような気がしなくもないですが)

そういう条件があれば求めようと思えば求められます。ただ、それを「中学の範囲で」と言われると自信はありません。

投稿日時 - 2006-05-02 00:14:46

ANo.2

ノート見せてもらいましたがノーペアよりワンペアの確率が低いのはおかしいのでは。(数字が6種類しかないのでバラバラに出す方が難しい)
ワンペアは6/6*1/6*5/6*4/6*3/6+6/6*5/6*2/6*4/6*3/6+6/6*5/6*4/6*3/6*3/6+6/6*5/6*4/6*3/6*4/6
ではないでしょうか。
たとえ同じ大きさのサイコロが5個でもそれぞれ違うサイコロなので各々のサイコロに番号をつけるなりして考えればショートやロングもわかりやすくなるのでは。
私は大人ですがあなたと同じく中学生程度の知識だと思うので違ってたらすいません。
2回目3回目は私には難しすぎますね。
がんばってください。

投稿日時 - 2006-05-01 22:43:10

ANo.1

1回目振った時です。

それぞれの組ができる数字のパターンを考え、その後それらを順列で並べて考えていきます。

まず、全体の数は6までの目を持つサイコロを5回振るわけだから6^5=7776です。

「全てがバラバラ(ノーペア)」
これは(1,2,4,5,6)または(1,2,3,5,6)の2パターンのみです。
それぞれ5!の並び方があるので
2×5!=240通り

「同じ目2個が1組(ワンペア)」
同じ目が出てくるのは1~6のうちどれか1つかつ残りの5個から3つを選べばよいので
6×5C3=60パターン
それぞれ5!/2!の並び方があるので
60×5!/2!=3600通り

「同じ目2個が2組(ツーペア)」
同じ目が出てくるのは1~6のうちどれか2つかつ残りの4個から1つを選べばよいので
6C2×4=60パターン
それぞれ5!/(2!×2!)の並び方があるので
60×5!/(2!×2!)=1800通り

「同じ目が3個で残りは別々の目」
同じ目が出てくるのは1~6のうちどれか1つかつ残りの5個から2つを選べばよいので
6×5C2=60パターン
それぞれ5!/3!の並び方があるので
60×5!/3!=1200通り

「同じ目が3個で残り2個も同じ目(フルハウス)」
3つの同じ目が出てくるのは1~6のうちどれか1つかつ残りの5個から2つの同じ目を1つを選べばよいので
6×5=30パターン
それぞれ5!/(3!×2!)の並び方があるので
30×5!/(3!×2!)=300通り

「同じ目が4個(フォー)」
4つの同じ目が出てくるのは1~6のうちどれか1つかつ残りの5個から1つを選べばよいので
6×5=30パターン
それぞれ5!/4!の並び方があるので
30×5!/4!=150通り

「同じ目が5個(オール)」
1~6のうちどれか1つ選べばよいので6パターン
それぞれ1つの並び方しかないので
6×1=6通り

「目が4つ並んでいる(ショート)」
これは(1,3,4,5,6)または(1,2,3,4,6)の2パターンのみです。
それぞれ5!の並び方があるので
2×5!=240通り

「目が5つ並んでいる(ロング)」
これは(1,2,3,4,5)または(2,3,4,5,6)の2パターンのみです。
それぞれ5!の並び方があるので
2×5!=240通り

全て足したら7776になることを確認してください。それぞれの確率はそれぞれを7776で割って約分してください。

トランプと違って1~6までしかないのでノーペアはショートやロングと全く同じ確率で出てきますね!


「1度変えたい」とありますが、これは変える方針が無数にあるので、すごく難しいのではないかと思います。つまり、どれを残してどれを残さないというパターンが無数にあるのです。(ひねくれものは4つそろったものも崩すかもしれません)一番難しいオールを狙うのに最もよい残し方をするとか条件があれば考えられるのかもしれませんが・・・

投稿日時 - 2006-04-30 23:47:26

お礼

とても詳しい説明ありがとうございました。 
ですが、中学生なのでできれば中学の内容で解ける方法を教えて欲しいです。
^と!の意味が調べてもよく分からないので... 本当にすいません。
下のURLの所にに自分でやった方法を載せたのですけど、それはめちゃくちゃ時間が掛かったし、「目が4つ並んでいる(ショート)」と「目が5つ並んでいる(ロング)」の確率を求めることが出来なったので、もっと簡単な方法はないか、(ショート)(ロング)を見つける方法はないか(中学の範囲で)、と思い質問しました。
ちなみに「同じ目2個が2組(ツーペア)」はあの図みたいなものを使わないと無理でした...
矢印は、何分の何でそっちに行くかを表しています。見にくくてすみません。

1回目変えた後⇒(311分の23328) ←これは間違っていると思うけど、オールだけを狙った場合です。
例えば「同じ目が3個で残り2個も同じ目(フルハウス)」なら残りの2個だけ変える、「同じ目が5個(オール)」なら何も変えない場合です。 これなら2回目変えた後の確率を求めることが出来るのでしょうか?
下のパスワードは abcdcbaです。 
無茶苦茶なこと言ってすみません。

投稿日時 - 2006-05-01 18:47:57

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