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解決済みの質問

不等式の変域の問題

aをa<10の定数として、不等式、12x^2-(45+4a)+15a<0
を満たす整数xがちょうど3個存在するようなaの値をもとめよ。 解答 0<=a<3

最初の不等式を因数分解すると、(4x-15)(3x-a)<0
となって、x=15/4、a/3
a/3 < 15/4、だから 
不等式の範囲は xの値が 上の不等式から、
3,2,1と3つとれるなら、aの範囲は
0<a<3 でイコールがいらないと思うのですが、
この点についてアドバイスお願いします。

投稿日時 - 2006-08-05 10:07:50

QNo.2320725

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

a/3<x<15/4の整数が1,2,3。
a/3が1になると1<x<15/4で整数が2,3になるので a/3は1より
ちょっとでも小さくなければならない。ということでa<3。
a/3が0になると0<x<15/4で整数が1,2,3になるので a/3は0
になってもよいが、当然0よりは小さくなれない。ということで 0≦a。

a/3を動かしながら、どこまでの値はいいのかを考えてみてください。
表現するのが難しい。

投稿日時 - 2006-08-05 11:08:00

補足

皆さん、ありがとうございます。
a/3の aが0になると、xの変域が 
0<x<15/4 となって、整数が 3,2,1,0
と4つとれるのではないかと思ったのです。
その点でひっかかっています。

投稿日時 - 2006-08-05 14:24:45

ANo.4

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回答(5)

ANo.5

No4です。
>0<x<15/4 となって、整数が 3,2,1,0
>と4つとれるのではないかと思ったのです。

  0<x<15/4をよーーく見てください。xは「0より大きい」です
  よね。だから、xには0は含まれないですよね。
  ということは、xは1,2,3しかとれませんよね。

  それで、a/3は0になってもよいのです。

投稿日時 - 2006-08-05 15:03:53

ANo.3

求めるaの範囲は十分広くとらなければなりません。
aがちょうど0でも題意を満たすのはOKですよね?
だったら 0<a<3 の答えは不十分です。
だってちょうど0でも題意を満たすのだから。
極端な話、 1<a<3 でも3,2,1と3つとれるけれど、これが答えではだめなのと同じ理由です。

投稿日時 - 2006-08-05 10:55:21

ANo.2

a=0のとき、12x^2-(45+4a)x+15a<0は
12x^2-45x<0 ∴x(4x-15)<0
となるので、
実際問題として整数解を3つ(x=1,2,3)持っていますよね?

ですから解答が間違っているわけではありませんので、
よく考えてみてください。
式変形自体は合ってます。

投稿日時 - 2006-08-05 10:49:38

ANo.1

境界部分が問題になっていると思いますが、
aの下限については、a=0であっても、
元の不等式 12x^2-(45+4a)x+15a<0 (式1とする)
を満たしますから、0≦a<3で良いはずでは?

式1が「・・・≦0」ではなく「・・・<0」ですから。

投稿日時 - 2006-08-05 10:46:31

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