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解決済みの質問

ルジャンドルの多項式について

これは、どのようなときに使い、どのような利点があるのでしょうか?

投稿日時 - 2006-09-06 22:56:30

QNo.2388959

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

No.2の補足に関する回答です。

> 他と比べて、具体的にどのような利点があるのでしょうか?

 実際上、「他」ってのはないと思います。微分方程式の解は数値じゃなくて関数です。その関数を数式で表した上で整理すれば、式の中にルジャンドル関数が勝手に出て来るんです。
 解を(式ではなくて)膨大な個数の数値の集まりによって「曲面が変化する様子を表現したデータ」として扱う数値解析においては、敢えてルジャンドル関数を使わないやり方もできるでしょう。その場合、何をするにも膨大な計算をやらなくてはならず、計算誤差の心配もつきまとう。式で表しておけば、そういう心配はなく、解の定性的な性質まで見通すことができます。

投稿日時 - 2006-09-09 22:23:07

お礼

お返事ありがとうございます。

>微分方程式の解は数値じゃなくて関数です。その関数を数式で表した上で整理すれば、式の中にルジャンドル関数が勝手に出て来るんです。

イメージは掴めました。

投稿日時 - 2006-09-12 21:45:30

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回答(8)

ANo.8

すこし難しいかもしれませbが

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/harmonics.htm

http://mole.rc.kyushu-u.ac.jp/~akiyama/ko-gi/hydrogen.pdf

投稿日時 - 2006-09-11 16:38:45

お礼

お返事ありがとうございます。

私もいろいろとHPを探しましたが、分かりやすいものはなかったです。

投稿日時 - 2006-09-12 21:48:03

ANo.7

#5の者です。
分かり易く補足説明します。
ルジャンドル多項式の利用の一例です。
大きさが異なる電荷(プラスとマイナスが入り混じって)が多数分布している時、ある一つの点における電位は、(電荷)/(電荷までの距離) を全て足し合わせたもので表わされます。
その 1/(電荷までの距離) は、ルジャンドル多項式で表わすことができますので、大雑把には
(電位)={(電荷)×(ルジャンドル多項式)} の合計 となります(下に述べる R が 1 の時)。

この時、基準となる点と、考えている一つの点との距離(R)、及び分布している電荷(q_i)の位置(基準となる点との距離(r_i)と、それを基準となる点を中心として回転させて、考えている一つの点に向かう方向と一致する時の角度(θ_i))が必要です。
文章では、長たらしくなりますが、式では簡単に、

V=Σ(i=1→N){Σ(l=0→∞)q_i×r_i^l×P_l(cosθ_i)/R^(l+1)}

と表わされます(P_l の l はエルです)。
r_i^l×P_l(cosθ_i) がルジャンドルの多項式の l 番目の項です。なお、N は電荷の数です。

投稿日時 - 2006-09-10 00:22:07

お礼

お返事ありがとうございます。



イメージは掴めました。

投稿日時 - 2006-09-12 21:46:36

ANo.5

余弦定理を用いて求めた長さの逆数を、角度(θ)の余弦を変数として展開したもので、長さの逆数を表すものとして輸送理論、ポテンシャル理論などでしばしば使われます。

投稿日時 - 2006-09-08 08:19:16

お礼

お返事ありがとうございます。

申し訳ございません。よくわかりません。更にわかりやすいHPがあればご教示頂きましたら幸いです。

投稿日時 - 2006-09-09 17:18:21

ANo.4

量子化学などで使います。

投稿日時 - 2006-09-07 18:38:55

お礼

お返事ありがとうございます。

申し訳ございません。よくわかりません。更にわかりやすいHPがあればご教示頂きましたら幸いです。

投稿日時 - 2006-09-09 17:18:43

ANo.3

L^2空間の直交基底として利用できます。

投稿日時 - 2006-09-07 17:31:49

お礼

お返事ありがとうございます。

申し訳ございません。よくわかりません。更にわかりやすいHPがあればご教示頂きましたら幸いです。

投稿日時 - 2006-09-09 17:19:01

ANo.2

物理で必須。球の表面の振動モード(帯球面関数)やラプラス方程式(距離の2乗に反比例する力が作るポテンシャル)の一般解の表現などに活躍します。

投稿日時 - 2006-09-07 12:15:55

補足

お返事ありがとうございます。

ルジャンドルの多項式は、球の表面の振動モード、ラプラス方程式を求めるのに使用されるのがわかりました。一般解の表現などに活躍するとのことですが、これを使うと、他と比べて、具体的にどのような利点があるのでしょうか?

なお私の数学力は低で、ど素人レベルです。高校生、あるいは文化系程度だと思って頂ければ幸いです。

投稿日時 - 2006-09-09 17:28:13

ANo.1

このサイトなどはいかがでしょう?

参考URL:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html

投稿日時 - 2006-09-07 09:37:16

お礼

お返事ありがとうございます。

申し訳ございません。よくわかりません。更にわかりやすいHPがあればご教示頂きましたら幸いです。

投稿日時 - 2006-09-09 17:18:00

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