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解決済みの質問

不等式の証明 数学II

A:文字がすべて正の数であるとき、次の不等式を証明せよ。
(1)A^3+B^3+C^3≧3ABC
(2)1)を利用して、A^3+9>6A

(1)は普通に証明できたのですが、(2)の仕方がよくわからないので、どなたかわかる方はご解説おねがいいたします。

B:A,B,Cが正の数で、A^2+B^2=C^2の時、A^3+B^3とC^3の大小関係を比較せよ

この問題は根本的にまったくわかりません。
条件式からC=A+B-√2ABとなることはわかったのですが
これを与式に当てはめると、ものすごい大きな数字になって計算がすごくやりにくくなります
それに、(1)を利用して、ということもまったくわからないのでご解説お願いいたします

投稿日時 - 2006-12-05 20:52:08

QNo.2582446

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

>条件式からC=A+B-√2ABとなることはわかったのですが

間違いです。



A.
(1)を利用しろという事ですから、A^3+B^3+C^3≧3ABCとA^3+9>6Aを比べてみればいいです。
B^3+C^3=9、BC=2ですから、(B、C)=(2,1)、or、(1,2)とすれば良いだけです。

B.思いつくだけで4つほど解法があります。そのうちの2つを書いときます。

解法-1
A,B,Cが正の数であるから、C^2=A^2+B^2を使うと、(C^3)^2-(A^3+B^3)^2=(AB)^2*(3A^2+3B^2-2)=(AB)^2*{2(A^2+B^2)+(A-B)^2}>0.

解法-2
A^2+B^2=C^2より、C-A>0、C-B>0.
C^3-(A^3+B^3)=C(A^2+B^2)-(A^3+B^3)=(A^2)(C-A)+(B^2)(C-B)>0.

投稿日時 - 2006-12-05 22:44:53

お礼

とてもわかりやすいご解説ありがとうございました
すごくよくわかりました
ありがとうございました

投稿日時 - 2006-12-06 07:49:37

ANo.1

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回答(2)

ANo.2

rtz

No1さんの回答の補足。

A(2)で、
(1)における等号成立条件はA=B=Cだが、
ここではB=2≠1=CなのでA^3+9=6Aとは成り得ない。
よってA^3+9>6A

ですね。

投稿日時 - 2006-12-06 00:23:49

お礼

確かにそうですよね!すごくわかりやすかったです
ありがとうございました!
勉強になりました

投稿日時 - 2006-12-06 07:50:55

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