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解決済みの質問

ベクトルの計算方法

一辺の長さ2の正四面体OABCにおいて、OA上に点Pを、内積(OA→、PB→)=1となるようにとり、次に点CからPBへ引いた垂線の足をQとする。
PQ;PBを求めよ。

解答
OA=a→、OB→=b→、OC→=C→とする。さらに、
OP→=kOA→=Ka→
とすると、PB→=PO→+OB→=-Ka+bよって
(OA→、PB→)=1から
(a→,-ka→+b→) = -k(a→,a→)+(a→,b→)=1 ..... (A)
さらに、PQ→=lPB→=l(-ka+b→)とすると
CQ→=CO→+OP→+PQ→
=-c→+ka→+l(-ka→+b→)=k(1-l)a→+lb→-c→であり
これがPB→と垂直であるから、内積は0である。
よって(k(1-l)a→+lb→-c→、-ka→+b→)=0
∴-k^2(1-l)(a→,a→)+k(1-2l)(a→,b→)+l(b→,b→)
+K(a→,c→)-(b→,c→)=0 ........(B)

ところが、一辺の長さが2で、a→とb→、b→とc→、c→とa→のなす角がすべて60°であるから、
(a.a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
同様に(b.c)=(a,c)=2 これらを(A),(B)に代入して

-4k+2=1 , -4k^2(1-l)+2k(1-2l)+4l+2k-2=0

∴k=1/4 , l=5/13, ∴ PQ;PB =l:1=5:13 (答)

質問1:求め方の意味はわかったのですが、計算ができませんでした。
(a、-ka+b)=1 という計算がどうして -k(a.a)+(a.b)=1 となったのでしょうか? (a,-ka+b) これらを互いに掛けたのではなくて、
a・a+-ka+b・-ka+b としたのでしょうか?すみません基本なところで>_<
質問2:最後のほうえ、(b.c)=(a.c)=2これらを(A),(B)に代入してとありますが、(B)はb、c、a.cがあるので、代入は簡単なのですが、
どうように(A)に代入したくても、(A)は -k(a.a)+(a.b)=1と
もじが (b.c)=(a.c)ではないので、代入できなさそうなのですが??
(B)に代入して得たKを(A)に代入ってことでしょうか??
>_<

投稿日時 - 2007-01-08 02:03:46

QNo.2650727

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

【質問1について】
ベクトルの内積( , )に関して
(1)(A,B+C)=(A,B)+(A,C) (2)(A+B,C)=(A,C)+(B,C)
(3)(kA,B)=k(A,B) (4)(A,kB)=k(A,B)
が成り立ちます(ここでA,B,Cは全てベクトル、kは実数です)。
この中の(1)を使って
(a, -ka+b)=(a, -ka)+(a,b)
さらに右辺の第一項に(4)を使って
(a, -ka)+(a,b) = -k(a,a)+(a,b)
まとめると
(a,-ka+b)=-k(a,a)+(a,b)
です。ですから
(a,-ka+b)=1 から -k(a,a)+(a,b)=1
が結論されます。

ベクトルの内積(A,B)はA・Bとも表記されますが、
(1)~(4)の性質を計算で使う際は(A,B)の記号の方が
間違いをしにくく、また見やすいのでよく使います。
この(A,B)で内積を表す場合、ベクトルの成分表示(またはベクトルの成分表示による計算)と混同しやすいので注意して下さい。
見分けるポイントはカッコの中のものが数字かベクトルかです。

【質問2について】
こちらは単純な読み違いかと思います。
>(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
>同様に(b.c)=(a,c)=2。これらを(A),(B)に代入して
で「これら」が指す部分は
(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=2, (b,c)=(a,c)=2
全てだと思います。
したがって「これらを(A), (B)に代入して」というのは
この中で (a,a)=4 と (a,b)=2 を(A)に代入し、
(a,c)=2 と (b,c)=2 を(B)に代入する
という意味だと思います。

投稿日時 - 2007-01-08 02:45:34

お礼

ありがとうございました!!返事おそくなってごめんなさい!
復習してました!!!

投稿日時 - 2007-03-02 19:05:08

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