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解決済みの質問

ベクトルの問題4

何度も投稿してしまってスイマセン(__;)

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとする。
辺OAを3:4に内分する点をP、辺BCを4:3に内分する点をQとする。そのとき
(1)
 OPベクトル=○aベクトル
 OQベクトル=○bベクトル+○cベクトル
である。
線分PQの中点をMとし、直線AMが三角形OBCの定める平面と交わる点をNとする。そのとき
 ANベクトル=tAMベクトル
を満たす実数tの値を求めると
(2)
 t=○
であり
(3)
 ONベクトル=○bベクトル+○cベクトル
である。すると
(4)
 |ONベクトル|=○
である、また
(5)
 cos∠AON=○
である。

(1)の問題は
 OPベクトル=3/7aベクトル
 OQベクトル=3/7bベクトル+4/7cベクトル
と出せました。(違っていたら指摘してください)
が、それ以降の問題の解き方がわかりません。
同じような問題を何度も質問しているようで申し訳ないですが、回答していただけると嬉しいです。
解答までのヒントだけでいいですので教えてください。
お願いしますm(__)m

投稿日時 - 2007-03-29 01:44:21

QNo.2875213

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

ーーー
vectorの問題は大きく言うと<アファイン形とユークリッド形>に分かれます。
(2)(3)は正四面体でなくても解けます。
(4)(5)は、一辺の長さが1の正四面体なる条件が必要です。
厳密ではないですが、<距離、内積、角度>が加わると、<ユークリッド形>

表記については#3を参照。vectorと実数を区別して解読して下さい。
>OPベクトル=3/7aベクトル
>OQベクトル=3/7bベクトル+4/7cベクトル  OKです。
>解答までのヒントだけでいいですので教えてください。
HINTだけを出すのは無理ですので、若干の解答も含みます。
書き換えます。
p=(3/7)a
q=(3/7)b+(4/7)c
m=(1/2)【(3/7)a+(3/7)b+(4/7)c】
=(3/14)a+(3/14)b+(4/14)c

(失敗に気が付きました、#3のm、nは実数で今のm、nはvector)

>ANベクトル=tAMベクトル
vectorAN=tvectorAM

vectorAN
=n-a
  ここが最大の隘路で n=βb+γc (β、γは実数)・・(0)
=-a+βb+γc・・・・・(10)

tvectorAM
=t(m-a)
=t【(3/14)a+(3/14)b+(4/14)c-a】
=t【(ー11/14)a+(3/14)b+(4/14)c】・・(20)

(10)(20)を比較する。よくある技法です。
よく見るとaの係数からー1=t(ー11/14)でt=14/11

ーーー本来(0)で終わるべきですが、もう少し

> ONベクトル=○bベクトル+○cベクトル  
再び(10)(20)を比較する。
β=(14/11)(3/14)=3/11
γ=(14/11)(4/14)=4/11  
n=(3/11)b+(4/11)c

ーー後は、内積の知識が必要

>|ONベクトル|=○
|(3/11)b+(4/11)c|^2 を計算 各辺の長さ、角度より
当方の解は√34/11 ?

ーーー
>cos∠AON=○
a・n=|a||n|cos∠AON
cos∠AON=a・n/|a||n|
  ここでa・n=a・【(3/11)b+(4/11)c】=
     |a||n|=
よってcos∠AON=

ご連絡下されば補足します
SEE YOU---

投稿日時 - 2007-03-29 15:49:15

お礼

回答ありがとうございます。
|ONベクトル|とcos∠AONがまだ出せていませんが
もっとよく考えて自力で出して見ます。
丁寧な解説ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-03-30 01:29:33

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回答(4)

ANo.3

ーーー
解答の前に

平面では<2vector利用が大半です>
   言われないと意識できないことですので、書きます。

原点Oを基点とした、位置ベクトルをb、cとします。m、nは実数。
また、位置ベクトル(動点)をp。各点は、P(p)、B(b)、C(c)です。(ふつうは、B・CではなくA・Bで説明しますが、本問題との関連上です。)

1、p=mb+nc (m、n任意) この意味が重要です。意味は、pはbとcに張られる全平面上の点です。(張る)というのはベクトルの数学用語で、OB軸とOC軸がなす全平面上を動点Pが表す、です。 このことは余りにも自明であって逆に意識されません。 このことが、本問題の解決につながります。

2、p=mb+nc (m+n=1) これは、直線BCを意味しますが、1より意識される様です。また無意識に内分・外分につながります。

3、p=mb+nc (m+n≦1、m≧0、n≧0) これは△OBCの周及び内部の意味です。
4、p=mb+nc (2m+3n=1、m≧0、n≧0)
5、p=mb+nc (2m+3n≦1、m≧0、n≧0)
6、p=mb+nc (1≦2m+3n≦2、m≧0、n≧0)
23456は本問題には関係しません。既に出会ったか、これから出会うか。

1’ 空間では1を拡張してp=la+mb+nc, 2’ p=la+mb+nc (l+m+n=1) これはA、B、Cを通る平面です。これも本問題には関連しませんが重要です。

なかなか本問題に入れません。これを書いて置かないと落ち着かない、という理由の他に、実は・・で誤読に気が付きました。(5)cos∠AON=○ですね。∠AONと誤読してました。
ー続ー何か書いてる内に、他の回答者様が・・・-

投稿日時 - 2007-03-29 14:00:00

ANo.2

ーーー
ベクトルの問題(1)で 平面だけで20種類と書きました。空間でも同様に20種類になるはずですが、現実には難易度が高くなるのでかなり減ります。反面空間特有の問題が追加され、やはり20種類となります。

しかし、これは旧課程の話であって、現行課程では種類は減ります。

しかし、しかし、大学側が<旧課程・現行課程>の区別ができていない、または区別が出来ていても<発展問題>として旧課程の問題がしばしば出題されます。

さて、今回の問題は当方が気に入っている問題です。
本質的な理解度を測るためには最適と思います。
現行課程でも、充分出題される可能性があります。

旧課程で空間が導入されたとき、この問題がCENTRE試験に出題される事を確信しておりました。

誠に遺憾ながら、この予想は見事にハズレ、知る限り出題されていません。
ーto be continuedーーー

投稿日時 - 2007-03-29 12:20:29

ANo.1

OPとOQだけしか求まっていないというのは哀しいですね。それも

>~と出せました。(違っていたら指摘してください)

と自信がないようです。これは今までの質問の範囲ですから出来て当然という書き方をして欲しいです。
その後も一歩でも二歩でも突っ込んで欲しいです。

>それ以降の問題の解き方がわかりません。

OMは分かるはずです。AMも分かるはずです。難しくなるのはNを決めるところからです。この問題はそれをtという文字を使うことによって導こうとしています。前にsとtを使うというのがありました。場面は違いますが発想は似ています。

正4面体の図を書いていますか。立体的にイメージが取れますか。分からなければ正4面体を作ってみて下さい。要らない封筒を使うと簡単に作ることが出来ます。私は必ず図を書きます。幾何的に詰めていってイメージを取ってからベクトルとしてやります。

OM=(OP+OQ)/2
OM=OA+AM ⇒ AM=OM-OA
AN=tAM=ON-OA
ON=xOB+yOC

最後の式がポイントでしょう。Nが△OBCを含む面内にあるということはONがOB、OCで表されるということです。
はじめの3つの式でONを表すとa、b、cを含んでいるはずです。そこからaが消える条件です。

OBC

投稿日時 - 2007-03-29 07:28:55

お礼

お気を悪くさせてしまって申し訳ないです。
理解力がないもので…。
もう一度考えてから出直してきます。
解答ありがとうございました。

投稿日時 - 2007-03-30 01:26:41

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