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解決済みの質問

ブラウン運動、マルチンゲール

B(t)をブラウン運動とした場合、Exp(cB(t) -c^2*t/2)
がマルチンゲールになることは分かります。

問題は、M=Exp(θ*B(t)-(θ*c-λ)* t)
がマルチンゲールとなるようなθを求めよという事で、
上に先程述べたものがマールチンゲールであることを用いて、θをもとめればいいのですが、回答には [B(t),B(t)] = t であるため、Mは、θ*c - λ = -θ^2/2 であればマルチンゲールであるといってるのですが......

どのようにしたら、[B(t),B(t)]=t が Mがマルチンゲールになる理由がθ*c - λ = -θ^2/2であるということに導かれるのでしょうか?

投稿日時 - 2007-05-14 11:33:57

QNo.2998770

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質問者が選んだベストアンサー

[B(t),B(t)]=tの左辺の記号の意味が少し不明ですが、B(t)の2次変動だとしても、B(t)の分散だとしても、いずれにせよ、tです。そして、
E[exp{cB(t)}]=1/√(2πt)∫e^{-cx}e^{-x^2/2t}dx
 =e^{tc^2}/√(2πt)∫e^{-(x-tc)^2/(2t)}dx
 =e^{tc^2/2}
です。もしM=M(t)がマルチンゲールならE[M(t)]=E[M(0)]でなくてはなりません。マルチンゲールになることが分かります、というところは似たような論法で示されているでしょう。

ところがM(0)=e^0=1ですから、E[M(t)]=e^{tθ^2/2}e^{-(θc-λ)t}より、θ^2/2=θc-λであることが必要と分かります。またこれが成り立つときは、既に示されているように、マルチンゲールになるので、十分性もOKです。

この問題を解く大事なポイントは、B(t)の分散がtであることを使ってE[e^{cB(t)}]を求めることにあります。したがって、“[B(t),B(t)]=t がMがマルチンゲールになる理由がθc-λ=θ^2/2である”ということになるのだと思われます。あと些細なことですが、僕の計算ミスでなければ、右辺は-θ^2/2ではなく、θ^2/2だと思います。もしミスがあったとしてもご容赦ください。おおむね、指数型マルチンゲールであることはこういった方法で証明します(実際は時刻0ではなく、時刻sでの条件付期待値を出しますよね)。

投稿日時 - 2007-05-14 21:59:41

お礼

ありがとうございます。大変分かりやすく理解できました。

投稿日時 - 2007-05-15 04:10:33

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