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2次方程式が実数解を持つ範囲

こんばんは、宜しくお願いします。

2次方程式 x^2-(8-a)x+12-ab=0が定数aの値に関わらず実数解を持つときの定数bの範囲を求めよ。

まず、実数解とあるので重解でもよいから判別式D≧0ですよね。

それで、D=a^2+4(b-4)a+16ですね。

ここで、ここからの進め方が分らなかったので答えを見ると、

”aの2次方程式=a^2+4(b-4)a+16の判別式を新たにDaとおくとD≧0となる条件はDa/4≦0でなければいけない。”とあるのですが、わからないです。

なぜDa/4≧0ではなくDa/4≦0なのでしょうか?

よろしくおねがいします。

投稿日時 - 2007-05-18 22:58:59

QNo.3011375

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

この判別式を2度使用する問題は混乱が起きるCASEが多いようです。
理由としては、
最初の式 x^2-(8-a)x+12-ab=0
最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0
二度目の判別式Da/4
が判然としなくなるためと思われます。
ーーー
最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0
の段階で、最初の式は完全に頭から<消し去って>
a^2+4(b-4)a+16≧0 だけをみる。

>>定数aの値に関わらず実数解を・・・
とありますので、
どのようなaに対しても、
a^2+4(b-4)a+16≧0が成立となります。
この後の考え方としては、3通り考えられますが、

○グラフで考えると。
a^2+4(b-4)a+16をaの関数とみて、
F(a)=a^2+4(b-4)a+16と置くと
二次関数のグラフの頂点の(y座標≧0)
となります、
F(a)=a^2ー2(8-2b)a+16
=【aー(8-2b)】^2-(8-2b)^2+16
すなわち、
-(8-2b)^2+16≧0
(8-2b)^2ー16≦0 となります。

○同じグラフでも
<グラフとx軸が2点で交わっててはダメ>と考えるならば、
方程式 a^2ー2(8-2b)a+16=0 が、
<2実数解をもたない>となり、
判別式 Da/4≦0、即ち
(8-2b)^2ー16≦0 となります。

○最後は多少判りにくいですが。
a^2+4(b-4)a+16≧0
を絶対不等式(常に成立する不等式)
と見ると、
(A-2)^2≧0などの連想から
判別式Da/4≦0
(8-2b)^2ー16≦0
とはなりますが、これは流石に慣れないと無理のようです。
この考え方は、最初の見方と同形となります。
ーーー
いずれも結果は同じで、
(8-2b)^2ー16≦0
(4-b)^2-4≦0
このあとの変形は<好み>があり、
2≦b≦6 のようです。

投稿日時 - 2007-05-19 07:37:41

お礼

こんにちは、ご回答ありがとうございました。

3パターンにもわたってご回答感謝致します。

よく分りました。 最後の絶対不等式は又勉強してみます。

本当にありがとうございました。

答えまでたどり着けました。

投稿日時 - 2007-05-19 12:29:48

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回答(2)

aの値に関わらずD>=0ということは
横軸にa,縦軸にD=a^2+4(b-4)a+16を取ると,
Dは横軸よりも下に行くことはない。

つまりa^2 + 4(b-4)a + 16 = 0が異なる二つの解を持たないということ。
よって【元の式の、ではなく,】
【a^2 + 4(b-4)a + 16 = 0の判別式】
Da = {4(b-4)}^2 - 4・1・16 <= 0
である

投稿日時 - 2007-05-18 23:08:47

お礼

こんにちは、ご回答ありがとうございました。

遅くなって申し訳ありません。

答えまでたどり着けました。

ありがとうございます。

投稿日時 - 2007-05-19 12:30:44

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