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二項分布の平均

数学初心者です。

二項分布の平均の公式で
「ux=np」とありますが、平均を求めるにあたり
何故「np」なのでしょうか?

通常の平均の求め方とは違うのでしょうか?
(1+2+3÷3の様に)

平均の求め方の概念が分かりません。
宜しくお願いします。

投稿日時 - 2007-06-23 00:37:35

QNo.3107916

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回答(4)

ANo.4

> 通常の平均の求め方とは違うのでしょうか?
まったく同じです。

サイコロを60回振って1の目が何回出るかを「ここでの統計量」としましょう。常識的には平均10回ですが、これはnpの値です。
この値を実験的に求めるために60回の試行を100万回やって平均を出すと、
((60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+.....)÷1,000,000 です。
この式が、あなたのいう「通常の平均の求め方」であって、値はnpと(ほぼ)同じになります。n は 60 のことであって 1,000,000 のことではないので、混同しないように。

なお、注意しておきたいのは「平均値」という語は次のように使われます。この中のどれであるか自明であれば、断りなく使われます。
(1) 有限回試行したときの平均値
(2) 無限回試行したときの平均値
(3) 母集団の平均値
(4) 1回試行するときの期待値((2)~(4)は、値としては同じです)

投稿日時 - 2007-06-27 14:42:15

ANo.3

平均を求めるとき、(1+2+3)÷3と求めるような時は、1,2,3がどれも
等確率1/3で起こるという前提のもとに計算するときです。
これは、1,2,3に確率1/3という重みを付けて、
1×(1/3)+2×(1/3)+3×(1/3)
という計算をしていることになります。
しかし、1の起こる確率が1/4、2の起こる確率が1/4、3の起こる確率が
1/2のような場合には、平均は、
1×(1/4)+2×(1/4)+3×(1/2)
のように計算されます。
これは、イメージ的には、1,2,3が起こるという実験を数多くn回行うと
き、平均的に、1はn×(1/4)回、2はn×(1/4)回、3はn×(1/2)回起こる
と考えられるので、出る数の総合計は、
1×n×(1/4)+2×n×(1/4)+3×n×(1/2)
よって、これを回数nで割って、1回あたり、
1×(1/4)+2×(1/4)+3×(1/2)
であると考えられます。
このように考えると、一般的に、1回の実験でa1,a2,…,anが起こり得
るとし、それぞれの確率がpi(i=1,2,…,n p1+…+pn=1)とすると、
平均は、a1×p1+…+an×pnと計算されます。

二項分布の場合は、1回の実験で0,1,2,…,nが起こり得、k(k=0,1,2,
…,n)が起こる確率がnCk×p^k×q^(n-k)なので、平均は、
Σ(0≦k≦n)nCk×p^k×q^(n-k)×kを計算すればよいことになります。
(ここに、q=1-p)
後は技術的なことだけですが、(x+y)^nの2項展開において、xで微分
し、そして両辺にxを掛けた式を作って置き、x=p,y=qと代入すれば
目的の平均が分かります。

投稿日時 - 2007-06-23 14:01:30

ANo.2

 二項分布の期待値の計算も、「通常の平均」と同じように、確率とその値の積を足し合わせて求めています。
 (「通常の平均」とは、たとえば、サイコロの出た目の期待値の計算で、
  (1/6)*1+(1/6)*2+(1/6)*3+(1/6)*4+(1/6)*5+(1/6)*6
 =(1/6)*21 =7/2
として求めることを言われていますよね。)

 二項分布でも、計算が複雑になるので Σ を使って表しますが、基本的な期待値の求め方は同じです。
 二項分布の確率は、nCk・p^k・(1-p)^(n-k) ですから、これにその値kを掛けて、0≦k≦nの範囲で足し合わせれば、期待値が求まります。
 以下に、その計算過程を記しますので、参考にしてください。

  [k=0→n]ΣnCk・p^k・(1-p)^(n-k)×k
 =[k=1→n]Σ n!/{k!(n-k)!}・p^k・(1-p)^(n-k)×k  (Σの中身はk=0のとき0なので、範囲を1≦k≦nに変更。)
 =np×[k=1→n]Σ (n-1)!/{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}・p^(k-1)・(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
 =np×[j=0→n-1]Σ (n-1)!/{j!((n-1)-j)!}・p^j・(1-p)^{(n-1)-j}  (k-1=j と置換。)
 =np×[j=0→n-1]Σ (n-1)Cj・p^j・(1-p)^{(n-1)-j}
 =np×{p+(1-p)}^(n-1)
 =np×1
 =np

投稿日時 - 2007-06-23 06:44:20

ANo.1

二項分布の話なんですよね??
その場合npは平均ではなく、いわゆる期待値を求める計算式ですよ。

例えばコインを20回投げて表の出る確率(期待値)を出す場合、
p=1/2、n=20
ですから10が答えとなります。

投稿日時 - 2007-06-23 01:27:25

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