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解決済みの質問

コーシーシュワルツの不等式

文字は全て実数
√(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz|
を利用して

10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2
を証明せよ。という問題です。
調べてみると上記のシュワルツの不等式を利用するようなのですが
うまい変形が思いつきませんでした。
ご教授お願いいたします。

投稿日時 - 2007-06-24 09:40:52

QNo.3110862

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

一般に、実数の範囲では、√(S^2) = |S|ですから、
10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 の√をとれば、
√(2a^2+3b^2+5c^2)*√(10)≧|2a+3b+5c|

A = (√2)a
B = (√3)b
C = (√5)c
X = √2
Y = √3
Z = √5
とすれば、

√(A^2+B^2+C^2)*√(X^2+Y^2+Z^2)≧|XA+YB+ZC|
あとはもう、明らかですね。

-----------------------------------
この方法は、発見法的でスマートではありませんが・・・。

投稿日時 - 2007-06-24 10:09:51

お礼

実にわかりやすい解答ありがとうございました。
おかげでもやもやが解消されました。

投稿日時 - 2007-06-24 10:20:28

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回答(2)

ANo.1

2a^2 = ( 2^{1/2} a)^2
3b^2 = ( 3^{1/2} b)^2
5c^2 = ( 5^{1/2} c)^2
とおくだけ.

投稿日時 - 2007-06-24 10:04:19

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