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解決済みの質問

ベクトルの内積と成分の問題で。。。

aベクトル=(2,1,2),bベクトル=(0,1,1),cベクトル=(1,2,0)である。
この問題小問1でeベクトル=(2/3,1/3,1/3)を、
小問2でfベクトル=(2/3,-2/3,-1/3)を出しました。
それで小問3なんですが、
gベクトル・eベクトル=0,gベクトル・fベクトル=0,|gベクトル|=1を満たすgベクトルのうち、cベクトルとの成す角が鋭角なものを求めよという問題です。
gベクトル=(1/3,2/3,-2/3)が解答なのですが、どうして
gベクトル=(1/3,2/3,2/3)がだめなのかよく分かりません。
おそらく「cベクトルとの成す角が鋭角なものを」というところがポイントだとおもうのですが、お分かりの方、ぜひ教えてください!

投稿日時 - 2007-06-24 09:48:03

QNo.3110876

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質問者が選んだベストアンサー

 まず、質問の記述が間違っていませんか?
>gベクトル・eベクトル=0,gベクトル・fベクトル=0,|gベクトル|=1を満たすgベクトルのうち

 ここは、g・a=g・b=0 (ベクトルを示す表記は省略します。)だと思うのですが。
 そうでないと、問題の回答のようなgは出てきません。

 さて、問題の設定が、g・a=g・b=0 だとすると、「gベクトル=(1/3,2/3,2/3)」が出てきたのは、単なる計算間違いでしょう。
 g=(x,y,z) とすると、
  g・a=2x+y+2z=0
  g・b= y+z=0
ですから、これらを連立すると、次の比が得られます。
  x:y:z=1:2:-2    ← ここで間違えたのでは?
 ここで、比例定数kをつかって、gを表すと、
  g=(k,2k,-2k)
となります。
 cとのなす角をθとしますと、θが鋭角なので、その余弦は正でなければなりません。
  cosθ=g・c/(|g||c|)=(k+4k)/(|k|√5)=k/|k|・√5>0
 ∴k>0
 あとは、gが単位ベクトルになるようにk>0の範囲で係数kを求めると、
  √{ k^2+(2k)^2+(-2k)^2 }=3k=1
 ∴k=1/3
とないますので、gが
 g=(1/3. 2/3, -2/3)
と求められます。

投稿日時 - 2007-06-24 10:38:41

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回答(2)

ANo.1

なにか、質問を書くときに、間違えておられませんか?

e=(2/3,1/3,1/3)
g=(1/3,2/3,-2/3)
としたとき、g・e=2/9ですから、0にはなりません。
また、c=(1,2,0)だとすると、g=(1/3,2/3,±2/3)の符号がどちらであっても、内積の値は変わりませんので、どちらでもいいはずです。
よって、鋭角であるかどうかはあまり関係ないと思います。

もしかして、e=(2/3,1/3,2/3)ではないでしょうか?
そうであるとするならば、g=(1/3,2/3,+2/3)としてしまうと、g・f=0ではなくなってしまうので、答えではありません。
よって答えとして考えられるのは、g=(1/3,2/3,-2/3)もしくはg=(-1/3,-2/3,+2/3)のどちらかです。
鋭角であるという条件から、0≦c・gでなければなりませんので、g=(1/3,2/3,-2/3)となります。

投稿日時 - 2007-06-24 10:35:31

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