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解決済みの質問

数学III

y=log(e^x+e^(-x))のグラフの書けという問題で必ずx軸との交点を求めますよね。
この問題はどうやってx軸との交点(y’=0)を求めるのですか。ぜんぜん分からないので出来るだけ簡単に説明してください。

投稿日時 - 2007-06-25 09:03:42

QNo.3113718

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質問者が選んだベストアンサー

>y=log(e^x+e^(-x))
=f(x)とおくと
f(-x)=f(x)から遇関数でy軸対象
x≧0でグラフを考えx<0側はY軸に対象に描けばいいですね。
y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))=tanh(x)
y"=sech^2(x)>0
x=0でy'=0,x>0でy'>0で増加関数、y">0で下に凸であることから
x=0で最小値y=log 2(>0)となりx軸との交点はないです。
Y軸との交点が(0,log 2)です。

f(x)=y-x=log(e^x+e^(-x))-xとおくと
f(x)=log((e^x+e^(-x))/e^x)=log(1+e^(-2x))
f'(x)=y'-1=tanh(x)-1<0
f(x)は減少関数でf(x)→log 1=0
で問題のyはy=xが漸近線になります。(Y軸対象のためy=-xもx<0の方の漸近線)

>x軸との交点(y’=0)を求めるのですか。
y'の分子=e^x-e^(-x)=(e^(2x)-1)/e^x=0から
e^(2x)=1=e^0
x=0
と出ます。

投稿日時 - 2007-06-25 12:09:53

ANo.4

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回答(4)

ANo.3

y=log(e^x+e^(-x))の微分はできますよね。
y’=(1/(e^x+e^(-x)))・(e^x-e^(-x))
分子はe^x-e^(-x) なので e^x-e^(-x)=0とおけば e^x=e^(-x)
e^(-x)=1/e^x なので e^(2x)=1 ∴e^x=1 (∵e^x>0)
∴x=0

投稿日時 - 2007-06-25 10:23:36

ANo.2

 簡単に説明しますと、
  y’={e^x-e^(-x)}/{e^x+x^(-x)}=tanh(x)
  y''=1/{cosh(x)}^2 >0  ⇒ 常に、下に凸

 y’=0となるのは、tanh(x)=0 ∴x=0 (y=log(2) )

 あとは、x→±∞でyは簡単な関数に記述できて、
  lim y =log{e^(±x)}=±x (複号同順)
  x→±∞
となりますので、x→±∞で、直線y=±xに漸近。

 以上をまとめると
  点(0,log(2))で最小になり、常に下に凸、またx→±∞で、直線y=±xに漸近するグラフということになります。
  さらに、付け加えれば、yはxの偶関数なので、y軸に対して対称です。

投稿日時 - 2007-06-25 09:50:39

ANo.1

>必ずx軸との交点を求めますよね。
e^x + e^(-x) >= 2 なので、x 軸との交点はありません

>どうやってx軸との交点(y’=0)を求めるのですか
導関数の x 軸との交点は方程式を解くだけ

この問題の場合は x -> ∞、x -> -∞ の漸近的挙動も必要だろう

投稿日時 - 2007-06-25 09:17:13