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ラプラス逆変換

ラプラス逆変換の問題です。教えてください。
1)F(s)=(s+3)/{(s-1)(s+1)^2}

F(s)=(s+3)/{(s-1)(s+1)^2}
=(c1)/(s-1)+(c2)/(s+1)^2 +(c3)/(s+1)
c1=[(s+3)/(s+1)^2]=1
c2=-1
c3=-1
F(s)=1/(s-1)-1/(s+1)^2 -1/(s+1)
でここまでわかるのですが、
f(t)=e^t ーte^(-t) -e^(-t)
上記の答えの式の第1項目と3項目はわかるのですが、第2項目がわかりません。なぜ、ーte^(-t)になるのですか。

投稿日時 - 2007-12-06 16:41:45

QNo.3576017

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質問者が選んだベストアンサー

ラプラス変換の公式に
dF(s)/ds ⇔ -t L^-1{F(s)}=-tf(t)
(d/ds)^n F(s) ⇔ (-t)^n L^-1{F(s)}=(-t)^n f(t) (n=1,2,3,...)
というのがあります。
(これはラプラス変換の定義式をn回微分して出てくる公式です)

また、F(s+a) ⇔ (e^at)L^-1 {F(s))=(e^at)f(t)
というのがあります。

以上の2つの公式を利用すれば部分分数をいとも簡単に逆変換できますね。
F(s)=1/(s-1) -1/(s+1)^2 -1/(s+1)
⇔ e^t L^-1{1/s} -e^(-t)L^-1{1/s^2}-e^(-t)L^-1{1/s}
= e^t u(t) -{e^(-t)}L^-1{-d(1/s)/ds}-e^(-t)u(t)
= e^t u(t) -t{e^(-t)}L^-1{(1/s)}-e^(-t)u(t)
= e^t u(t) -t{e^(-t)}u(t)-e^(-t)u(t)
= {e^t -(t+1)e^(-t)}u(t)
ここで、u(t)は単位ステップ関数です(t<0でu(t)=0,t≧0でu(t)=1)
なお、計算は質問者さんに分かりやすいように馬鹿丁寧に式の変形を
書きましたが、通常の計算は途中をどんどん省いて構いません。
単にラプラス変換の公式を適用しているに過ぎませんから…。

投稿日時 - 2007-12-06 21:44:59

ANo.3

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回答(3)

ANo.2

あうあう。
パーだからわかんないわ。^_^;

ここの11
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou.htm

atを-にすれば済む問題なんじゃないかしら。
それとも、もっとムズイの聞いてんの??^^;

投稿日時 - 2007-12-06 19:55:55

ANo.1

ラプラス変換の表にはあるような気がする.

投稿日時 - 2007-12-06 18:52:56