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解決済みの質問

共振尖鋭度の物理的な意味

共振尖鋭度Qが、共進周波数ω0の周りでエネルギーが半分(I/√2)となる周波数ω1、ω2(ω2>ω1)とすると、Q=ω0/(ω2-ω1)と定義されることまでは、分かるのですがこれらのω1、ω2のパラメータと共振回路に含まれる素子のパラメータL(コイル)とC(コンデンサ)、およびR(抵抗)との互換がある…

Q=ω0/(ω2-ω1)=ω0L/R=1/ω0RC

…となることがよく分かりませんでした。(右二つの式がイコールでつながることは分かりますが)
このことについて、深く言及されている図書、サイトが見つからないため、
助言もしくは参考サイトなど分かる方、回答をお願いしたいと思います。

投稿日時 - 2008-01-05 17:54:29

QNo.3652529

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

並列回路の Q は1/ω0RC でなく、ω0RC じゃないですか?
エネルギーが半分になる周波数でなく、電流やインピーダンスが 1/√2 になる周波数からも Q が計算できます。

(LCR直列回路)
      I →
 ┌- R ─ L ─ C ┐
 V           │
 └───────┘
LCR直列回路への印加電圧を V、回路に流れる電流を I とすれば
   I = V/{ R + j*ω*L + 1/ ( j*ω*C ) } = ω*C*V/{ -ω*C*R + j*( 1 - ω^2*L*C ) }
なので、電流の大きさは
   | I | = ω*C*V/√{ ( ω*C*R )^2 + ( 1 - ω^2*L*C )^2 }
これは ω0 = 1/√( L*C ) でピークを持ち、そのときの値は
   | I0 | = V/R
となります。ω1 と ω2 では| I | が | I0 | の1/√2 になるので、ω1 と ω2 は以下の方程式の解となります。
   ω*C*V/√{ ( ω*C*R )^2 + ( 1 - ω^2*L*C )^2 } = V/{ R*√(2) }
この両辺を2乗して整理すれば、以下のように ω に関する2次方程式になります。
   L*C*ω^2 ± C*R*ω - 1 = 0
この解は
   ω = { ±R ±√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L ) [複号任意]
となりますが、ω>0 となるのは
   ω = { ±R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
しかないので、ω1 < ω2 とすれば
   ω1 = { -R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
   ω2 = { R +√( R^2 + 4*L/C ) }/( 2*L )
したがって
   Δω = ω2 - ω1 = R/L
   Q = ω0/Δω = ω0*L/R

(LCR並列回路)
  I →
 ┌─┬─┬─┐
  V  R  L  C
 └─┴─┴─┘
LCR並列回路のインピーダンス Z は
   Z = V/I = 1/{ 1/R + 1/( j*ω*L ) + j*ω*C }
     = ω*L*R/{ -ω*L + j*( 1 - ω^2*L*C )*R }
です。これも直列回路と同様に、Z の大きさのピークの1/√2 となる周波数を計算すれば Q が求められます。途中を省略して結果だけ示せば
   Δω = ω2 - ω1 = 1/( C*R )
   Q = ω0/Δω = ω0*C*R

投稿日時 - 2008-01-05 19:46:57

お礼

すいません、聞かれていた回路は直列でした。

今までどこの電流値Iをどのパラメータで比べればいいのか分からず四苦八苦していたので、丁寧な解説でとても助かりました。
回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-01-06 09:35:50

ANo.2

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回答(2)

>Q=ω0/(ω2-ω1)=ω0L/R

いろいろありますが、一例だけ。
 http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ct13050/text/kyoushin.pdf

投稿日時 - 2008-01-05 18:38:36

お礼

回答ありがとうございます。

結構いろいろなサイトを回ってみたつもりなのですが、なかなか目あての資料を見つけるのは難しいです。
リンクの資料は自分にも読みやすかったので助かりました。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-01-06 09:38:48

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