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e^ix、cos(x)、sin(x)の実解析関数の証明

オイラーの公式{e^ix=cos(x)+isin(x)}を証明するため以下が必要であることが分かりました。
しかしながら以下のうち、(3)の実解析関数とはどういうものでどういう定義なのか、そしてe^ix、cos(x)、sin(x)が実解析関数であることを証明する手順について、ご存知の方がいらっしゃたらご教示いただきたくお願いします。
(1)べき級数は収束半径内で絶対収束する
(2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない
(3)e^x,cos(x),sin(x)は実解析関数である

投稿日時 - 2008-03-02 01:25:51

QNo.3825013

困ってます

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回答(1)

ANo.1

>以下が必要であることが分かりました。

いや・・そうじゃなくって・・・・
オイラーの公式を証明するだけなら
(1)(2)だけです.
こうなったら何度でもいいますが,
(1)(2)はご自分で大学初年度程度の普通の数学の教科書
(「よく分かるなんちゃらら」とか
「漫画でわかるなんちゃらら」系にはまず出てません)を
ノートをとって自分で行間をうめて読んでください.

実解析性を使うのはまた別の証明方法です.
こっちのアプローチは予備知識がかなり必要です.
実関数fが実数の領域Dにおいて実解析的であるというのは
D内の任意の点aにおいて,
aにおいてベキ級数展開できるということです.
これは単純な微分可能よりはるかに強い条件で,
いろいろなことが出てきます.
e^x,sin(x),cos(x)が実数全体で実解析的であることの証明は
「実際に展開できる」ことで終わりです.

投稿日時 - 2008-03-02 11:01:21

お礼

早速のご返事ありがとうございます。
私の理解が不足しているため、ご面倒をおかけしてすいません。
前回の質問QNo.3820786のANo.4において回答者さんがコメントいただいた。
>(1)べき級数は収束半径内で絶対収束する
>(2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない
>(3)e^x,cos(x),sin(x)は実解析関数である
>(4)e^x,cos(x),sin(x)の級数展開を具体的に記述することは容易である

>これらを組み合わせることで,
>オイラーの公式が証明されるというのは
>「証明方法」ではないのですかな.

とお返事を頂いたので、実解析関数の証明が必要と理解しましたが小職の誤った理解でしょうか?

(1)べき級数は収束半径内で絶対収束する
(2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない

については大学の微積分の教科書に載っていましたので、前回お礼のメッセージに掲載させていただいたとおり理解できました。何度もご教示いただきありがとうございます。

投稿日時 - 2008-03-02 12:39:37

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