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解決済みの質問

三角関数について質問

こんばんは。

三角関数について質問があります。


0≦α<360°のとき、関数y=cos2θ+2sinθの最大値と最小値を求めよう。

この問題については
cosθ=1-2sin^2θを代入し、
=-2(x-(1)/2)^2+3/2
から最大値、最小値を求められます。

上記のようなやり方で三角関数をつかわず
y=sinθ+√3cosθ や
y=sinθ+cosθ を最大値、最小値をもとめられるでしょうか?
(問題集では三角関数を使い解いています)

不可能な場合、どうしてだめかも教えてください。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2002-10-28 00:44:28

QNo.391238

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

>上記のようなやり方で三角関数をつかわず
『上記のようなやり方で』なければよいのでしょうか?

[別解1]ベクトルの内積を利用(既に学習済みでなければダメですが...)
例)y=sinθ+√3cosθ
→a=(√3,1) と →p=(cosθ,sinθ)
の内積 (→a)・(→p)=√3cosθ+sinθ(=y)
は, (→a)・(→p)=|→a||→p|cosφ=2cosφ
(ただしφは(→a)と(→p)のなす角)
より,
cosφ=1 つまり →a と →p が同じ向き(φ=0°)に平行の時に最大値2 (θ=30°)
cosφ=-1 つまり →a と →p が逆向き(φ=180°)に平行の時に最小値-2 (θ=210°)

[別解2](こちらの方が初等的です)
(X,Y)=(cosθ,sinθ) と置くと,点P(X,Y)は 単位円 X^2+Y^2=1・・・(1) 上の点を表すので,
この円と XY平面の直線 √3X+Y-y=0・・・(2) とが共有点を持つときのyの値のとりうる範囲を考えれば良い.
[直線(2)は y=sinθ+√3cosθ ⇔ √3cosθ+sinθ-y=0 から考える]

円(1)と直線(2)が共有点を持つ条件は
(2)よりY=y-√3X を(1)に代入して整理した式
4X^2-2√3y*X+y^2-1=0
これをXの方程式と見て,実数解Xをもつ条件は
D/4=(√3y)^2-4(y^2-1)≧0
⇔-y^2+4≧0
⇔y^2-4≦0
⇔(y-2)(y+2)≦0
⇔-2≦y≦2
よって,最大値は2,最小値は-2

ただし,この解法だと,等号成立の条件が少々厄介です.
実は最大値も最小値も X=√3*y/4, Y=y-√3X の時で,それぞれ
最大値2(X=√3/2,Y=1/2 よりθ=30°)
最小値-2(X=-√3/2,Y=-1/2 よりθ=210°)

投稿日時 - 2002-10-28 01:17:08

お礼

いつも回答ありがとうございます。
よくおわかりで。ベクトルはまだです(^^ゞ。
チャート式に別解2らしきものがのっていたのでできるのかな~と疑問に思い
ました。
数学っておもしろいですね~。
またよろしくお願いします。

投稿日時 - 2002-10-28 03:24:19

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回答(5)

ANo.5

三角関数を使わなくても解くことはできます。sinθ,cosθは、
 sin^2θ+cos^2θ=1, -1≦cosθ≦1 … (1)
によって、規定されます。これは、
 sinθ=±√(1-cos^2θ), -1≦cosθ≦1 … (2)
と同値です。例えば、

【問題】
 y=sinθ+√3cosθ
の最大値と最小値を求めよ。

という問題の場合は、(2)から、
 y=±√(1-cos^2θ)+√3cosθ, -1≦cosθ≦1.
ここで、cosθ=xとおけば、
 y==±√(1-x^2)+√3x, -1≦x≦1 …(3)
となりますから、この問題は、(3)の最大値と最小値を求める問題と同値になります。(3)の最大値と最小値を求めるためには、普通、微積分法を使います。この問題の場合は、”三角関数の合成”という方法を用いれば、比較的簡単に解くことができます。

投稿日時 - 2002-10-28 02:19:35

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
微積分をこれから勉強するあ(といってもすでに文系卒ですが(^^ゞ)わかり
やすかったです。
いまは解ける方法があるかどうかだけ疑問だったので、微積分を勉強したら
チャレンジしてみようと思います。
これから指数か微積を勉強しようと思うのでまたよろしくお願いします。

投稿日時 - 2002-10-28 03:20:17

ANo.4

>不可能な場合、どうしてだめかも教えてください。

不可能ということはありませんが
三角関数のままで解く方がずっとずっとはるかに簡単です。
だから、三角関数があるのです。

このような質問をする段階では、まず理解できないでしょう。
というのは、本質的に三角関数で解くのと同じことを
三角関数を使わないで解くことになり、
それは三角関数の裏の裏まで知った人のすることだからです。

もう少し三角関数を習熟すると、なぜこの質問が筋悪であるか
理解できるはずですよ。それを楽しみに努力してみましょう。

投稿日時 - 2002-10-28 01:31:11

お礼

>三角関数のままで解く方がずっとずっとはるかに簡単です。

とはわかっていたのですが、数学をあらゆる角度から理解したいので。

>もう少し三角関数を習熟すると、なぜこの質問が筋悪であるか
理解できるはずですよ。それを楽しみに努力してみましょう。

そんなことを言わずに。やっぱり質問してよかったです。
わかりやすい回答をしてくれた方もいたので。
ちなみに誤解されてしまったかもしれませんが私は高校生ではなく社会人です。

投稿日時 - 2002-10-28 03:34:32

ANo.2

角度の部分が変わらずにsinθをcosθに変えることが出来ないので無理ではないですか?

解ければ良い思ってやっていた人間なので
さっさと合成公式を使ってやってしまいますね。時間もかからないし。(本末転倒ですが)

投稿日時 - 2002-10-28 01:15:17

お礼

>角度の部分が変わらずにsinθをcosθに変えることが出来ないので無理ではないですか?

短い文でまさにずばっと的を射た回答でした。
ポイントしようと思ってたのですが、長く書いてくれた方がいたのでできませんm(__)m。回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2002-10-28 03:26:42

ANo.1

>最大値、最小値をもとめられるでしょうか?
自分でやってみましたか?
どっちでもいいのですが仮にsinθ=xとでもおいて変換していけば

例えば上でしたら y=x+√3(1-x^2)
さぁこっから2次関数にもっていければ解けますし
出来なければ解けないということじゃないでしょうか

どっちで解くか見分ける方法についても一言
xがルートの中にはいって2乗とかしても出せそうにない場合
2次関数でとくのはむずかしいですねぇ

投稿日時 - 2002-10-28 01:04:43

お礼

いいヒントをありがとうございます。
自分でももちろんやり数時間考えて質問しました。
最初読んだとき、「?」でしたが
ほかの方の回答を見てやっと意味がわかってきました。
早くに短くしてわかっていたんですね。
回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2002-10-28 03:29:27