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締切り済みの質問

「実数が0で割れないことの証明につき」

「実数を0では割れないという(定義)」に矛盾はないということを積極的に証明する手立てはないのでしょうか。と申しますのは、「定義」は万が一にでも誤っている可能性があり、その場合は、その「定義」自体が、意味をなさないものとなってしまいます。そういった事態を防ぐためにも「能動的に実数を0で割れないという証明」が、できないでしょうか。御教示方何卒宜しくお願い申し上げます。下記は、「教えてgoo」に前回提出した質問で、これにかかわる問題をX氏と当方で投げ合ったものです。X氏には、お許しもいただかずに引用させていただきましたことをお許し下さいませ。

X氏>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。(当方の文より引用)
定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。
通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)

当方:「受動的にそれを否定する証明」がない限りとおっしゃっている意味にとらえられるのですが、逆に「能動的に誤謬がないことを証明」する方法はないのでしょうか。これについて述べていただいているURLを因みに御添付いたします。例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。「http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655」以上 今後ともご指導ご鞭撻何程宜しくお願い申し上げます。ありがとうございました。

X氏:ナイスな着眼です。
もちろん「証明する必要がある」のですが、非常に難しいです。
それは何をもって「実数」とするのか?という問いとほぼ同じです。

当方:その証明をしていただくわけにはお願いできませんでしょうか。もしくは、それが、明らかに「高等学校の数学課程」をこえていることを説明していただけませんでしょうか。

X氏:ムリ。私の手に余る。
別途、実数体の定義の無矛盾性について質問を立てれば、誰か数学基礎論に詳しい人が回答してくれるかも。

投稿日時 - 2008-04-03 01:11:44

QNo.3917616

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回答(10)

ANo.10

jmh

Microsoft Office Excel 2003 では、÷0は #DIV/0! になります(#DIV/0! を含む計算の結果も #DIV/0! になるようです)。この動作は「普通の数に、新たな数 "#DIV/0!" を付け加え、とりあえず÷0ができるようにした」というようにも見えます。この方法は、他の方法:例えば「"応答なし"になる」よりは、上手な方法だと思います。

数学では、「定義しないでおく」のが良いみたいです。

投稿日時 - 2008-04-19 17:26:50

お礼

「数学では、『定義しないでおく』のが良いみたいです。」
ありがとうございます。これが、私の「感想(あくまでも感想)」とも最も近いです。

投稿日時 - 2008-04-20 12:23:14

ANo.9

ANo.3のstomachman、再チャレンジです。

[1] 「xをyで割った商z」とはどういう意味か。
割り算を、掛け算の逆演算になるように定義したいものとします。つまり、「yz = xを満たすzをx÷yと書く」ことにしたい。

[2] 掛け算の逆演算がいつでも可能だとは限らないことに注意。
 例えば、x,y,zが整数である場合を考えると、xとyを勝手に与えた時、yz = xを満たすzはいつでも存在するわけではない。このことを考慮すると、[1]は
「yz = xを満たすzが存在する時、そのzをx÷yと書く」
と表した方が(どちらも全く同じことを言っているのですが)分かり易いでしょう。

[3] では、x,y,zが実数である場合について考えます。
まず、0とは何か。
(i) 定義:ある元aが任意のxについてx+a=xを満たすとき「aは零元である」と言う。
(ii) 定理:aが零元であるとき、任意のxについて ax=a, xa=a を満たす。
そして、
(iii)定義:零元がただひとつ存在するとき、これを0と書く。
(うるさい事をいうと、(i)(ii)(iii)は環という代数系の理屈に出て来る概念であって、しかも可換環の場合の話です。で、足し算と掛け算が定義された実数のなす代数系は可換環である。それはさておき)
(iv)定理:実数には零元がただひとつ存在する。
さて、

(1) (実数は体であるから)任意のx, yについて、yが0でないならば yz = x を満たすzは必ず存在し、しかもただひとつ存在する。
【従って、任意のx, yについて、yが0でないならば、z = x÷y となる実数zがただひとつ存在する】

(2) yが0の場合には、(0は零元だから、任意のxについて 0x=0, x0=0 を満たすので、)yz = xを満たすxは0だけであり、zはどんな実数でも構わない。すなわち、
(2-1) 任意の実数zは 0z = 0 を満たす。
(2-2) 0でない任意の実数xについて、どんな実数zも 0z = x を満たさない。
【従って、y=0、x≠0の場合には z = x÷y となるzは存在しない。】

[4](2-2)に注目すると、除数yが0の場合には掛け算の逆演算は存在しないことが証明できた訳です。つまり
定理1:「x≠0, y=0である場合、yz = xを満たすzは存在しない」
が証明できた。だから、掛け算の逆演算になるように割り算を定義したくても、被除数xが0でなく除数yが0である場合にはそれは出来ない。(これこそが、ANo.8の捕足で「それならば、『実数が0で割れないということ』を能動的に正しいと証明することは、できないのだろうか」と仰っていることの答でしょう。)
 さて、この定理を[1]あるいは[2]の定義に書き加えておいたほうが親切だろうと思うのなら、
「x≠0, y=0である場合を除いて、yz = xを満たすzが存在する。そのzをx÷yと書く」
とするのが適切でしょう。(いや、こんな親切をしなくたって、定理1の証明を自分でやってもらえば[1]の定義だけで充分ですがね。)

 ここまでは、[1]の定義だけから出発して何の恣意性もなく到達するという意味で、数学的な結論です。

[5] 次に(2-1)の場合を考えると、0÷0となるzは幾らでもある。[1]あるいは[2]の定義に従えば、
「任意の実数zは0z=0を満たす。そのzを0÷0と書く」
ということになる訳で、つまり
「任意の実数を0÷0と書く」
ことになる。でもこれは掛け算の逆演算になってない。それに何の役にも立たない。ただ混乱を呼ぶだけのことです。

 そこで、[2]の定義に制限を加えて、
「y=0である場合を除いて、yz = xを満たすzがただひとつ存在する。そのzをx÷yと書く」
としておく。で、「任意の実数を0÷0と書く」かどうかはちょっと保留。

 さて、この「y=0である場合を除いて」という制限をどう考えるか。
(a) 制限があるなんて断然気にくわない。どんなx,yについても割り算を定義したいから、除数yが0の場合には(割り算が掛け算の逆演算でなくなることを承知で)答を勝手に7と決めちゃえ。なら、0÷0も出来なくちゃ嫌だから、これも7にしちゃえ。俺は自由だあ~。
(b) 掛け算の逆演算になる、ってのが割り算の本来の意義なんだから、逆演算ができない場合(すなわち除数が0の場合)には割り算は定義しないままにしなくちゃいけない。制限があるのがあたりまえ。とすれば、0÷0も逆演算にならないから定義しない。

の二つの立場が考えられる。ANo.3の山分け算は(a)の立場を、普通の数学は(b)の立場を取っている訳です。

投稿日時 - 2008-04-19 15:32:30

ANo.8

jmh

この質問は、「負の数を知らないときには2-3もできなかったんですが、マイナスというのを上手く作って計算できるようにしたのと同じように、÷0を上手に定義することは絶対できないのですか」という意味ですか?

投稿日時 - 2008-04-17 00:50:01

補足

補足として

投稿どうもありがとうございます。早速ですが、投稿者さまと私の解釈は少しく異なるものであるかとも存じ上げます。

と申しますのは「引き算(減法)」では、最初、小学生の算数課程では、おっしゃるように「(もしかしたら0をも含む自然数のみで?)負の数」の概念がないため「より大きくない数からより小さくない数(同じ大きさの数どうしの引き算は除く)」を引くことができないように、教わりますね。それでも、中学校で徐々に「数の概念の拡張(整数……有理数……虚数などなど)」を習うことによって、「負の数」の概念が登場して「引き算(減法)」については、「いかなる、二つの数の間でも、定義なしえないことはない」ということになることは、おっしゃるとおりです。

しかしながら、「0による割り算(除法)」に関しては、「Apriori(先天的)」に「割れない/定義しない(この二つの表現の違いについては、いろいろな投稿者の方が懇切丁寧に説明していただいているにもかかわらず、誠に申し訳ないことに、私は未だ完全には理解できていません)」とされているだけです。そこで、この「教えて! goo」の「質問」で私が最初に投げかけたのは、「X氏:定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして)」からのお言葉が「定義は反証(『矛盾』を指し示す)がなければ正しいとみなされます」なるお言葉を「反証がない限り受動的に正しいもの」だと把握して「それならば、『実数が0で割れないということ』を能動的に正しいと証明することは、できないのだろうか」さらにその証明法はいかなるものかというのが、私の質問の趣意です。

うぅん。こう書いてみたところ、少し不安になりました。私の申し上げていることが、「jmh」さんのおっしゃるとおりだという気もしてきました。少しだけ語尾が違うのは「jmh」さんは、「(前略)÷0を上手に定義することは絶対できないのですか」とおっしゃっているところを、私は「『÷0を上手に定義すること』は絶対できないのですね」と「ね」で何方かの証明を待っていることと、『』内ではさみました箇所で「よしんば0で割れる(除法)」があったとしても、その目的のみのために「上手に定義し」ても、よいのかなる箇所に疑問が残る点くらいでしょうか。

賢明なる諸氏方の「私の誤った考え」に対するご指導・ご鞭撻方何卒宜しくお願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-19 06:34:28

ANo.7

数学には自由性があります。

実数a(≠0)に対して、比という意味では、
a:0
という考えができますね。
同次座標の考えです。

それでも、
0:0
は考えないです。

投稿日時 - 2008-04-12 02:37:49

お礼

ご指導ありがとうございます。「自由性」という言葉には惹かれますが、にもかかわらず、私には能力的に、ついていけないように思われます。誠に申し訳ございません。機会があれば、今後とも何卒宜しくご指導・ご鞭撻方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-12 12:09:24

ANo.6

>>「実数体に 0 による除算を定義しないでさえいれば『まったく安心である』」

思うに、「定義しない」というのを、
「定義できるのだけどしていない」という意味にとったのでは?
そういう意味にとらず、
「定義不可能だから定義していない」という意味にとれば、何の問題もないはず。
たとえば、実数体においての√-1とか、  arcsin(3)は未定義としかいえませんが、だからといって何も問題ないでしょう。

よって、たとえば、
z÷0=0 と定義したとします。
除算は乗算の逆演算であるという定義より、(まさか、この定義にイチャモンつけませんよね?)
z÷0=0 と、 0×0=Z (すなわち、0×0=不定、全ての実数が解となる)
は等価。
z÷0=z と定義したとします。       これは、z×0=z と等価。
z÷0=不能(=未定義) と定義したとします。これは、z×0=0 と等価。

したがって、乗算においてz×0=0という定義を変えることができない以上、z÷0=不能(=未定義)とならざるを得ないでしょう。


>例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。
工学用語や日常用語であれば、「すますことはできない」でしょう。
というのは、
「定義されていない」状態とは、
1.定義が必要なのに定義するのをサボっている。
2.定義したくても定義不可能である。
 2-1.解が無い。たとえば 1/0、√-1、arcsin(3)
 2-2.複数の解を持ち、1つに特定できない。たとえば 0/0
のうち、1.を指してしまい2.の意味にとることはまずないため、明らかなチョンボです。
でも、理学(数学)用語で2.を指し1.ではないのなら、それですます(=できないものはできない。)しかないでしょう。

kiihunterさんのHPより
>不定でも不能でもない.「定義できない」のというのが0で割る計算の本来のあり方といえる.

Wikipediaの「ゼロ除算」によると、
>>代数学的解釈
>>(途中略)解は一意に定まらず、未定義となる。
とあって、これは
・未定義とは、一意に決まらないこと、すなわち不定または不能のことである
というのに等しいから、「定義できない」の意味についてkiihunterさんは標準と異なった独自解釈をしています。
私には、この部分の解釈の違いが諸悪の根源と思えるのだけど.....
そして、HPのどこを見ても、そういう主張をする場合に必要な2つの必須条項
(kiihunterさんの解釈が正しく標準解釈がオカシイこと、その理由)が書いてありません。
だから、HP記載の主張を追いかけるのは非常に骨が折れます。

※個人的には、「未定義」とは、定義をサボった状態を指すという意味にとりたくなるので、
 定義不可能の場合は「未定義」「定義されていない」と言ってほしくないです。
 定義不可能、不能or不定、定義できない、のような言い方にしてほしいな。
※※私自身は、普通自動車とは大型バスや大型トラック(トレーラ・セミトレーラを除く)
  を指す(=特別許可なく一般公道を通行できる最大の大きさの自動車)世界の住人なので、「未定義とは、一意に決まらないことを指す」
  というなら、それはそういう用語であるとあきらめ受け入れます。そのかわり、
  <不定でも不能でもない.「定義できない」>は、定義された用語に意味もなく逆らうアホ行為とみなし、徹底的に糾弾する立場にまわります。

投稿日時 - 2008-04-11 09:14:23

ANo.5

どうも、前回の質問で自分の手に負えなくなった Mr. X です。
なので、これは回答ではありません。前回の回答についての補足です。悪しからず。

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前回の要約

「実数体では 0 による除算は『定義されていない』」
「実数体に 0 による除算を定めようとすると、
 直感的な実数の理解からかけ離れてしまい受け入れられない」

ここまでは良いでしょう。

しかし、これだけでは

「実数体に 0 による除算を定義しないでさえいれば『まったく安心である』」

とは言えないのではないか?
他にも「0 による除算」と同様の瑕疵が実数には潜んでいるのではないか?

というのがそもそもの質問者さんの提示された疑問だと考えています。

----------------------------------------

実数をどう「定義するか」

よく知られているのは、集合論的な基礎から「自然数」→「整数」→「有理数」→「実数」と
構成的に実数を「定義」する方法です。

私もその定義しか知りません。
しかし、この定義は「集合論の無矛盾性」を引き合いに出さねば『安心』は得られず、
私には ZFC 集合論についての無矛盾性などの議論は「手に余り」ます。

他にも構成的でない実数の定義も存在して、何らかの議論がなされていると想像しますが、
私はその方面の知識は持ち合せていません。

以上補足でした。

投稿日時 - 2008-04-04 01:19:00

お礼

ご丁寧にご説明いただきまして、誠にありがとうございます。「ZFC集合論」など全く知りませんでした。「少年老い易く学成り難し」では、ありませんが、全く知らない知識であります。「ぼちぼち」と勉強していきたいと思います。それでも、何か「魔境」に陥ってしまった感もあります。重ね重ねお礼申し上げます。もし、更なる質問をさせていただく際には、ご無礼かもしれませんが、何卒宜しくご指導方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-05 14:36:45

ANo.4

jmh

0では除算は(まだ)定義されてないだけで、定義はすることはできると思います。例えば、次のようにして:
定義(÷の延長): z÷0=0とする。

投稿日時 - 2008-04-03 22:15:04

補足

当方の投稿から印用したX氏のコメントなのですが、そこにおいては、「X氏:ナイスな着眼です。もちろん『証明する必要がある』のですが、非常に難しいです。」なる「Statement」があります。私が、ここで類推するのは、「やはり、0による除算は不可能であるという定義が正しいと証明されているのですが……X氏には大変失礼なのですが……彼(女)の手に余る」というようにとってしまうのですが、「それをも覆す何かがあるのでしょうか。もしくは、私のとらえている問題の『Phase』 がことなる」のでしょうか。全くお手上げです。

投稿日時 - 2008-04-03 23:48:29

お礼

早速のご回答まことにありがとうございます今後とも何卒宜しくご指導ご鞭撻方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-03 23:23:19

ANo.3

[1] 「実数を0では割れないという(定義)」なんてものはありません。(そもそも「定義」とはどういうことかについては、例えば http://oshiete1.goo.ne.jp/qa43691.html をご参照あれ。)

 よく「0で割り算しちゃいけない」と言われるのは
 「ax=1 をxについて解いて x=1÷a」
とやるようなチョンボを戒める言葉ですが、じゃあ、0で割り算しちゃいけないのはなぜかというと「0による割り算は定義してないから」が答です。「環における割り算」という概念を導入する際に、割り算 a÷b を、 環の任意の元aと、環の零元を除く任意の元bについて定義した。(「零元を除く」という部分は割り算そのものの定義にくっついている条件であって、それ自体は定義じゃありません。なお、割り算自体の定義はここでは述べていないことにご注意。)
 つまり、もともと分母が0であるような割り算は思慮の外にある。だから、

> 「定義」は万が一にでも誤っている可能性があり

というご心配は無用です。

[2]「実数を0で割ることができるような割り算」を定義するのはご自由です。ただしこれは普通の割り算とは別ものですから、とりあえず別の名前(たとえば「山分け算」)を与える必要があります。
 次に、もし「分子が実数、分母が0でない実数である場合に、山分け算は普通の割り算と一致する」ことを証明できたとすれば、山分け算は普通の実数の割り算の拡張になっている訳です。(もしこの証明ができなければ、山分け算は割り算とは別ものの演算だ、というだけのことです。)

だったら、山分け算a山bの定義を
「分母bが0でない場合、a山b=a÷bとする。分母bが0である場合、a山b=ナニカ とする。」
にしておけば良いじゃないか。そうすれば山分け算が普通の割り算の拡張になることは自明じゃないか。…とお考えになるでしょう。

 その通りです。例えば、
a山0 = 7
と決める。すると、分母が0でないとき、山分け算は割り算と同じであり、従って掛け算の逆演算である。でも分母が0のときには割り算は定義されず、また、分母が0のときには山分け算は掛け算の逆演算ではない。
 これで何の問題もありません。例えば、
 「ax=1 をxについて解いて x=1÷a」
はa=0の場合には誤りですし、a≠0の場合には正しい。
 ax=1 をxについて解いて x=1山a
もa=0の場合には誤りですし、a≠0の場合には正しい。

 要するに、「分母が0であるような割り算は思慮の外」なのだから、思慮の外のところをどういじって山分け算を作っても、本質的に割り算と何の違いもない。言い換えれば、a山0 = 7 という関係式は何の役にも立たない、というだけのことです。


[4] 一方、「a=0の場合にも、a≠0の場合にも、
 ax=1 をxについて解いて x=1山a
とやれるような山分け算を考えたい」ということになると話は全く違います。これは掛け算の逆演算として山分け算を定義したい、ということですけれども、その場合、分母が0であるといろいろ具合が悪い。(その「いろいろ」については、ANo.1にも書いてあるし、X氏もご指摘になったに違いないから省略。)だから、環における割り算の定義に「零元を除く」という条件がついてる訳です。

投稿日時 - 2008-04-03 13:22:38

お礼

早速のご回答まことにありがとうございます。しかしながら、当方におきましては、いただきましたご回答が、残念ながら、完全には理解できずにおります。「ルール違反」かもしれませんが、疑問等が生じましたら「補足」に投稿させていただきたいと考えております。今後とも何卒宜しくご指導ご鞭撻方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-04 00:14:28

ANo.2

そもそも定義というのは、「意味をひとつに限定する」「一意に定める」ものです。
たとえば、自然数は「ものの個数、もしくはものの順序(これは正確には有限順序数)という概念を表す数の一群」を指しますが、ここで自然数の仲間にゼロを入れるかどうかが問題になることがあります。そこで、
自然数とは「ものの個数、もしくはものの順序(これは正確には有限順序数)という概念を表す数の一群である、ただし、ゼロをのぞく(ゼロを含む)」という定義がなされます。

このように、定義とはお互いに誤解がないように、概念をひとつに限定するものですから、正しいとか間違ているというものではありません。事実、自然数の定義でゼロを含む定義も、ゼロを排除する定義も、どちらも成立するのです。

X氏のおっしゃる「定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。」というのはそういう意味です。

さて、ゼロで割る、いわゆるゼロ除法ですが、
b=0 のとき、bx=a は 0x=a または単に 0=a と書き換えられます。
ここで、a が 0 でないときには解がありません。
また、a が 0 であれば任意の x が解となりえます。
その結果、解は「一意に定まらない」ということになります。

何度も述べたとおり、定義とは「一意に定めること」ですから、結論として、a/0 は未定義となります。

さらに言い換えれば、「実数は0では割れない」という定義があるのではなく、定義が「ない」のです。

投稿日時 - 2008-04-03 11:00:57

お礼

早速のご回答まことにありがとうございます。「なるほど」とは存じます。しかしながら、ご回答いただいていらっしゃる方々のご回答には「ゆらぎ」があるように思えてならず、当方には、どれに従うかなる判断力が未だない故に、難儀しております。時間をかけて勉強したいと思います。今後とも何卒宜しくご指導ご鞭撻方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-03 23:18:15

ANo.1

もし0で割るという操作が許されると、αを任意の数とした場合α/0という数
が決まりますが、これに0を掛けると割り算の定義から0×α/0=α、しかし、
0という数は任意の数との積が0になるからα=0となって、すべての数が0で
あるという事になる。多分、素朴な数(例えば有理数とか)が問題の場合は、こ
の時点で説明終わりとなる。(以上、小学生向けの説明) もう少し高度な代数
では、上の様に例えば1=0でもちゃんと乗法と加法の基本的な公理(具体的に
は可換環の公理)を満たす(例えば零環がそう)から、これは矛盾を引き起こさ
ない。でも「1を持つ可換環」ではだめ。結論を言うと、「0で割る」という事
のタブーは公理や代数系によるものであると思います。

投稿日時 - 2008-04-03 09:52:12

お礼

早速のご回答まことにありがとうございます。しかしながら、当方には、残念ながら「もう少し高度な代数では」(以下)の部分が難解でした。時間をかけて勉強したいと思います。今後とも何卒宜しくご指導ご鞭撻方お願い申し上げます。

投稿日時 - 2008-04-03 22:57:14

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