こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

極限値

(1) lim[n→∞]√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1)

分子有理化をして、
分子分母に√(x+3)-√(x)をかけて、
lim[n→∞] 3 /{√(x+2)-√(x+1)}{√(x+3)-√(x)}

さらに分子分母をxで割りました。
3/∞になって0になります。

しかし、解答は3です。

(2) 数列{a_n}の極限値を求める。
a_n=1^2+2^2+…+n^2/n^3

こちらは全く分かりません。
分子分母をn^2で割りましたが、
なにも進みません…。

なにかヒントをお願いします。

投稿日時 - 2008-04-13 00:16:25

QNo.3944180

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

(1)
>(1)lim[n→∞]{√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1)

lim[x→∞] {√(x+3)-√(x)}/{√(x+2)-√(x+1)}
分子分母に{√(x+3)+√(x)}{√(x+2)+√(x+1)}をかける。
=lim[x→∞] (3/1)*{√(x+2)+√(x+1)}/{√(x+3)+√(x)}
=lim[x→∞] 3*{√(1+(2/x))+√(1+(1/x))}/{√(1+(3/x))+1}
=3

(2)
公式Σ[k=1→n] k^2=1^2+2^2+…+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
を使って下さい。
a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3=(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→1/6 (n→∞)

投稿日時 - 2008-04-13 12:58:22

ANo.2

このQ&Aは役に立ちましたか?

1人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(3)

ANo.3

#2です。
A#2の単純ミスの訂正です。

> a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3
> =(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→1/6 (n→∞)
  =(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→2/6=1/3 (n→∞)

投稿日時 - 2008-04-13 13:59:30

お礼

ありがとうございました。
解けました!

投稿日時 - 2008-04-13 18:39:32

ANo.1

n→∞はx→∞ですか?
分子と分母の両方を有理化してみてください。
あっ、有理化は「分子分母に√(x+3)-√(x)をかけて」
じゃないですよ。√(x+3)+√(x)じゃないと。

>a_n=1^2+2^2+…+n^2/n^3
は、a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3 ということですか?
それならば、Σk^2の公式で分子を違う形にしてみれば
いいのでは?

投稿日時 - 2008-04-13 00:45:44

お礼

ありがとうございました。
Σk^2の公式を使ったら解けました!

投稿日時 - 2008-04-13 18:40:22