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解決済みの質問

指数対数の極限値

lim[x→0]{a^x-1}/xの極限を求めよ
なのですが、
a^x-1=tとして
lim[t→0]{tlog a}/log(t+1)としました、
解答はlog aということなので、
lim[t→0]t/log(t+1)の部分が1となるらしいのですが、
それがなぜかわかりません、
どなたか教えていただけないでしょうか?
お願いします。

投稿日時 - 2008-06-22 16:29:09

QNo.4120508

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

> lim[t→0]t/log(t+1)の部分が1となるらしいのですが、
> それがなぜかわかりません、
0/0型ですからロピタルの定理を適用して分子、分母を微分してから、極限をとればいいですね。

lim[t→0]t/log(t+1)=lim[t→0]t'/(log(t+1))'=lim[t→0]1/(1/(t+1))
=1/(1/1)=1

投稿日時 - 2008-06-22 16:45:20

お礼

早速の回答有難うございました。
参考にさせていただきます。

投稿日時 - 2008-06-22 17:54:36

ANo.2

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回答(3)

ANo.3

ほんとに#1さんのひと言で片づく問題ですが、

lim[t→0]{log(1+t)/t}を示す方針です。(1は逆数取っても1)
 lim[t→0]{log(1+t)/t} = lim[t→0]{(1/t)*log(1+t)}
            = lim[t→0]{log((1+t)^(1/t))}
ところで、logの中の(1+t)^(1/t)は自然対数の底eを定義するときに現れる形ですね。
ここまででピンと来ないなら、指数関数・対数関数の定義や微分を復習しましょう。

投稿日時 - 2008-06-22 17:43:04

お礼

おっしゃるとおりです。
ピンときました。
有難うございました。

投稿日時 - 2008-06-22 18:32:28

ANo.1

単に a^x の微分係数を求めているだけです。

投稿日時 - 2008-06-22 16:38:54