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数学

数学の問題を解いているのですが,途中までしかできませんでした.続きをだれか教えていただけませんか.
(1)1+sin^2 θ=3sinθcosθが成り立つとき,tanθの値を求めよ.
(2)f(x)=sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 xについて,次の各問いに答えよ.
   1:f(x)=a(sinbx+p)+qの形にせよ.
   2:f(x)=1を解け.ただし,0≦x≦πとする.
(3)不等式|cosθ|≦sin|θ| (-π≦θ≦π)を解け.

解答
(1)1+sin^2θ=1+1/2(1-cos2θ)
   3sinθcosθ=3/2sin2θ
   よって
   1+1/2(1-cos2θ)=3/2sin2θ,
   3sin2θ+cos2θ=3,
   合成公式より,√10sin(2θ+α)=3(
   となるので,tanα=1/3である.
(2)
1:f(x)=1/2(1-cos2x)+2sin2x-3/2(1+cos2x)=2(sin2x-cos2x)-1=2√2sin(2x-π/4)-1
f(x)=1とすると、
2√2sin(2x-π/4)-1=1となります。
sin(2x-π/4)=√2/2
(3)どのような方針でやればいいのかわかりません.
誰か教えていただけませんか.

投稿日時 - 2008-08-05 23:08:33

QNo.4230782

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回答(3)

ANo.3

>(1)1+sin^2 θ=3sinθcosθが成り立つとき,tanθの値を求めよ

1+(1-cos2θ)/2=(3sin2θ)/2であるから、3sin2θ+cos2θ=3.‥‥(1)
tanθ=tとすると、sin2θ=(2t)/(t^2+1)、cos2θ=(1-t^2)/(t^2+1)であるから(1)に代入して、方程式を解くだけ。

>(2)f(x)=sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 xについて
> 2:f(x)=1を解け.ただし,0≦x≦πとする  

sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 x=sin^2x+2sin2x-3(1-sin^2 x)=2sin2x-2cos2x-1=1より、sin2x-cos2x=1を解くだけ。

>(3)不等式|cosθ|≦sin|θ| (-π≦θ≦π)を解け

-sin|θ|≦cosθ≦sin|θ|であるから、θ≧0とθ≦0の2つの場合わけをする。 以下省略。。。。計算は自分でやってね。

投稿日時 - 2008-08-06 09:53:05

ANo.2

続きを教えるんですね?

(1)
 sin(2θ + α) = 3/√10
 sin α = 1/√10
 cos α = 3/√10
の続き…
 sin(2θ + α) = cos α = sin(π/2 - α)
を解けばよい。
 2θ + α = (π/2 - α) + 2nπ または
 2θ + α = π - (π/2 - α) + 2nπ (n は任意の整数)
式を整理して
 θ = π/4 - α + nπ または
 θ = π/4 + nπ (n は任意の整数)
これを tan に代入して
 tan θ = tan(π/4 - α) または tan(π/4)
ただし
 tan(π/4 - α)
 = { tan(π/4) - tan(α) } / { 1 + tan(π/4)・tan(α) }
 = { 1 - (1/3) } / { 1 + 1・(1/3) }
 = 1/2
方程式 sin x = sin a の解き方は、教科書に載っています。

(2)
 (2√2) sin(2x - π/4) - 1 = 1
の続き…
 sin(2x - π/4) = (1 + 1) / (2√2) = 1/√2 = sin(π/4)
を解けばよい。
 2x - π/4 = (π/4) + 2nπ または
 2x - π/4 = π - (π/4) + 2nπ (n は任意の整数)
式を整理して
 x = π/4 + nπ または π/2 + nπ (n は任意の整数)
この内 0≦x≦π の範囲にあるのは
 x = π/4, π/2

(3)
方針…
 -π ≦ θ < -π/2
 -π/2 ≦ θ < 0
 0 ≦ θ < π/2
 π/2 ≦ θ ≦π
に場合分けする。

投稿日時 - 2008-08-06 04:42:03

ANo.1

(1)
1 + sin^2θ = 3 sinθ cosθ
より、cosθ ≠ 0
1 = sin^2θ + cos^2θ より、左辺を変形して
2 sin^2θ + cos^2θ = 3 sinθ cosθ
両辺を cos^2θ (≠0)で割れば tanθ に関する2次方程式を得るから、それを解いて tanθ = 1/2, 1

(2)
sin(2x - π/4) = √2 / 2
分かりにくければ θ = 2x - π/4 とでもおいて、0 ≦ x ≦ π より -π/4 ≦ θ ≦ 7π/4
この θ の定義域で sinθ = √2/2 を解けば θ = π/4, 3π/4
2x - π/4 = π/4, 3π/4
x = π/4, π/2

(3)
|cosθ|≦sin|θ|
方針:y = |cosθ|, y = sin|θ| のグラフを重ねて書けばすぐ分かる。

投稿日時 - 2008-08-06 00:03:02

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