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最大値・最小値の問題(三角比)

次の関数の最大値・最小値およびその時のθの値を求めよ
y=sin^4θ+cos^4θ(0°≦θ≦180°)

自分はcos^2=tとおいてy=2t^2ー2t+1とやって
平方完成して-1≦cosθ≦1の範囲で考えてt=1/2の時、最小値1/2になってt=-1の時に最大値5になったのですが、解答を見たらsin^2θ
=tと置いていて、最小値は合ってたのですが、最大値がt=0、1の時最大値1になってて、計算ミスしたのかなぁと思って計算しなおしたのですが何度やってもt=-1の時に最大値5になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか?後、解答ではt=0となるのはsin^2θ=0から θ=0°180°、t=1となるのは sin^2θ=1から θ=90°t=1/2となるのは・・・・・となっていたのですが、t=0の時、sinθ=0だとθ=0°180°、t=1の時 sinθ=1だと θ=90°・・・となるのは納得できるのですが、なぜsinが2乗されていてもθが同じなのでしょうか?
長々と長文すみません。

投稿日時 - 2008-08-06 21:26:02

QNo.4233024

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回答(5)

ANo.5

#4です。
質問者さんのやり方の検証
訂正しながら正解を書きます。
> 自分はcos^2(θ)=t(0≦t≦1…■)とおいて
> y=2t^2-2t+1とやって
> 平方完成して
y=2(t^2-t)+1=2{t-(1/2)}^2+(1/2)
> 0≦t≦1の範囲で考えて
> t=1/2の時、最小値1/2になって
>t=0または1 の時に最大値1になる
<< t=-1とはならないですよ。ここが間違いです。>>
>>t=-1…◆の時に最大値5になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか?
単純な勘違いです。計算ミスではないです。
このような間違いを防ぐには、変数をθからtに置き換えた■のところで
置き換えた後のtの範囲を必ず明記することを実行することです。
そうすれば◆のところで t=cos^2(θ)=-1とおくようなミスを防止できますね。

まず、自分のやった解答の間違い箇所を正しく認識し、そして正解に持っていくことが大切です。自分の解答が間違っていたら、それをほっておいて、解答集の解答に走る事は自分の実力にはなりません。
問題の解答は何通りもあります。A#4のように。
自分のやり方で、正解を作れる事が一番重要で、自分の実力になります。

よく考えて、必ずこの方法で解けるんだという信念をもって取り組む事。それが確実にできるようになったら、よりスマートな別解と比較して消化するようにするといいかと思います。

投稿日時 - 2008-08-06 23:11:26

ANo.4

y={sin(θ)}^4+{cos(θ)}^4
=[{sin(θ)}^2+{cos(θ)}^2]^2-2{sin(θ)}^2{cos(θ)}^2
=1-(1/2){2sin(θ)cos(θ)}^2
=1-(1/2){sin(2θ)}^2
=1-(1/4){1-cos(4θ)}
=(3/4)+(1/4)cos(4θ)

cos(4θ)=1のときyの最大値(3/4)+(1/4)=1
この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから
 4θ=0°,360°,720°∴θ=0°,90°,180°

cos(4θ)=-1のときyの最小値(3/4)-(1/4)=1/2
この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから
 4θ=180°,540°∴θ=45°,135°
となります。

投稿日時 - 2008-08-06 22:38:58

ANo.3

ミスった。。。。笑

>-1≦sin2θ≦1より 1/2≦y≦3/2。最大値は 2θ=3π/2、最小値は 2θ=π/2の時。

        ↓

-1≦sin2θ≦1より、0≦(sin2θ)^2≦1であるから、1/2≦y≦1。最大値は 2θ=3π/2、π/2、最小値は 2θ=0、π、の時。

投稿日時 - 2008-08-06 22:04:34

ANo.2

質問の回答は他の人がやってくれるだろうから、どうせならもっと簡単にやろうよ。。。。。笑

y=sin^4θ+cos^4θ=(sin^2θ+cos^2θ)^2-2*(sin^2θ)*(cos^2θ)=1-(1/2)*(sin2θ)^2。
0≦2θ≦2πから、-1≦sin2θ≦1より 1/2≦y≦3/2。
最大値は 2θ=3π/2、最小値は 2θ=π/2の時。

投稿日時 - 2008-08-06 21:48:50

ANo.1

cos^2 θ = t
sin^4 θ = (sin^2 θ)^2 = (1-t)^2
ということですよね?

>>>t=-1の時に最大値5になったのですが

t = cos^2 θ です。
果たして、tは-1になることができるでしょうか?



sin^4 θ + cos^4 θ = (1-t)^2 + t^2
 = 2t^2 - 2t + 1
 = 2(t^2 - t) + 1
 = 2(t^2 - t + 1/4) - 1/2 + 1
 = 2(t - 1/2)^2 + 1/2

・ t=1/2 のとき最小で、最小値は1/2

・ 0≦t≦1 であるから、かっこの中を注目すると、
  t=0か1 のとき最大で、最大値は1

最後に、
t=1/2、t=0か1 が、0≦θ≦180 に入っているかを確認。
t=1/2のとき cosθ = 1/√2 → 第1象限にある→OK
t=0のとき、cosθ = 1 → θ=90 のときである→OK


なお、私はときどき計算ミスをするので、上記は検証してください。

投稿日時 - 2008-08-06 21:42:58