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加速度が変化する場合の自由落下について

地球を半径Rの球とします。地表面から高さRの点から物体を自由落下させ、物体が地表面に着くまでの時間はいくらですか。
ただし地球表面での重力加速度をgとし地球の質量は中心に質点として存在し、空気抵抗や地球の自転・公転・他の星の重力の影響は無視でき、物体の質量は地球に比べ十分に小さいとします。

という問題なんですが、地球表面の重力加速度から万有引力定数Gを出して瞬間の加速度と地表からの距離をtに関する変数だと考えて行けば出来る気がするのですが、微分積分の知識が必要らしく手詰まりです・・・
詳しい解説をお願いします。

投稿日時 - 2008-09-09 03:41:04

QNo.4314842

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回答(7)

ANo.7

(訂正)
地球を半径R 質量M 
万有引力定数G
g=GM/R^2
地球の中心からの距離をrとすれば
mr''=-GMm/r^2
t=0 r=2R, dr/dt=0
r''=-gR^2/r^2
gR^2=A^2 とおいて、
r''=-A^2/r^2
エネルギー積分すると[t=0,dr/dt=0]
(r')^2=2A^2{1/r-1/(2R)}
(r')^2=A^2{2/r-1/R}
(2/r-1/R)^(-1/2)r'=-A
√(r/R)/√(2-r/R)r'=-A
積分して
t=0:r=2R
R^(3/2)(2atan(√(2R/r-1))+√r/R√(2-r/R))=At
r=Rとなるのは
R^(3/2)(π/2+1)=At
R^(1/2)(π/2+1)=√gt
t=(π/2+1)√(R/g)

投稿日時 - 2008-09-10 19:05:22

ANo.6

> M>>m → MV^2<<mv^2 は真ですか?

自明とは思いましたが,ご指摘いただきましたので・・・
運動量保存により,
V^2/v^2 = m^2/M^2
したがって,
(MV^2)/(mv^2) = m/M << 1

投稿日時 - 2008-09-09 16:39:09

ANo.5

>ANo.4

地球の運動エネルギーは0ですか?
つまり、命題

M>>m → MV^2<<mv^2

は真ですか?

投稿日時 - 2008-09-09 16:22:33

ANo.4

エネルギー保存により,
1/2 mv^2 - GMm/r = -GMm/(2R)
すると,GM=gR^2を考慮して
v=-dr/dt = R√(2g)√[{1-r/(2R)}/r]
変数分離して
T=-1/{R√(2g)}∫[2R:R]√r/√{1-r/(2R)}dr
r=2Rsin^2θ と変数変換すると
T=-4√(R/g)∫[π/2:π/4]sin^2θdθ=(π+2)/2・√(R/g)
となりましたが,あってるでしょうか?
#2さん,エネルギー積分で積分定数が落ちました。

投稿日時 - 2008-09-09 16:06:57

ANo.3

>ANo.2

面白いギャグですね。w

投稿日時 - 2008-09-09 16:06:48

ANo.2

地球を半径R 質量M 
万有引力定数G
g=GM/R^2
地球の中心からの距離をrとすれば
mr''=-GMm/r^2
t=0 r=2R
r''=-gR^2/r^2
gR^2=(2/3A)^2 とおいて、
r''=-(2/3A)^2/r^2
エネルギー積分すると
(r')^2=(2/3A)^2/r
r^(1/2)r'=-2/3A
r^(3/2)=-At+(2R)^(3/2)
r=Rとなるのは
At={(2√2-1}(R)^(3/2)
At={(2√2-1}(R)^(3/2)
3R√g/2=A
t=2/3{(2√2-1}√(R/g)

投稿日時 - 2008-09-09 15:29:46

ANo.1

まず、どの積分が出来ないのか等、どこで詰まったかを書いてください。

投稿日時 - 2008-09-09 08:09:55

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