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線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2008-10-04 00:10:34

QNo.4375863

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。

投稿日時 - 2008-10-04 12:21:07

ANo.3

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回答(3)

ANo.2

 簡単に言います。
 y、y’、y’’同士の掛け算がなければ線形、あれば非線形です。

(非線形の例)
 y^2、yy'、y'^2、y'y''、yy''、y''^2、y^3、yy'y'' など

投稿日時 - 2008-10-04 00:38:33

お礼

わかりやすくて、感動しました!
友だちに自慢できます笑。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-10-04 10:42:28

ANo.1

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式のとき線形
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)は線形

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式になっていないとき非線形
例えば非線形の例:
y'y''+p(x)y'+q(x)y^2=f(x)
y''+μ(y^2-1)y'+y=0・・・van der pol方程式

投稿日時 - 2008-10-04 00:33:03

お礼

とてもわかりやすいご解説、
ありがとうございました。
これでスッキリしました!

投稿日時 - 2008-10-04 10:44:08

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