こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

二次方程式について

二次方程式について質問です。今x^2+ax+b=0という方程式が与えられているとき、xの二つの解、もしくは二つの解の実数部が負であるための必要十分条件はa>0かつb>0であると聞きました。なぜこうなるのかわかりません。もし解がある場合ですと、xはx=(-a+-sqrt(a^2-4b))/2となりますよね?(sqrtはルートの意味で使いました)じゃあ別にb>0という条件はいらないと思うのですが・・・。

よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2008-10-19 22:33:56

QNo.4414271

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

 <二つの解の実数部>というところを誤解しているのではないでしょうか。

(1)2つの虚数解をもつとき(D<0⇔ a^2<4b)
 解の公式の√は虚数部になりますので、実数部はx=-a/2です。
 したがって、この時の条件は次のようになります。

  -a/2<0 ∴a>0

 また判別式の条件から、b>0 となります。

(2) 2つの実数解 または 1つの実数重解をもつとき(D≧0⇔ a^2≧4b )
 解の公式から、x={-a±√(a^2-4b)}/2 となります。
 この2つの解がともに負なので、次のようになります。

  -a±√(a^2-4b)<0
 ⇔±√(a^2-4b)<a

 ここで、a<0のとき ±√(a^2-4b)<0となり、複号の正を満足できないので、a≧0 でなければならない。
 このとき(a≧0)上の不等式は次のように変形されます。
   √(a^2-4b)<a
  ⇔a^2-4b<a^2
  ∴b>0
  ここから、判別式の条件を考えると、 a>0 となります。

 以上のことから(1)(2)をまとめますと、お尋ねの通り、次の必要十分条件が導かれます。

 ∴a>0、b>0


 ちなみに、a>0だけでしたら、例えば、x^2-2x-3=0 では(x=-1,3) となって、2つの実数解は負になりませんよ。

投稿日時 - 2008-10-19 23:00:32

お礼

丁寧にありがとうございます。導けました。

投稿日時 - 2008-10-20 09:53:59

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(4)

ANo.4

解が2つとも負である為には、大きい方の解が負
{-a+SQRT(a^2-4b)}/2=-a^2+(a^2-4b)/2{a+SQRT(a^2-4b)}=-2b/a+SQRT(a^2-4b)
a+SQRT(a^2-4b)>0より-2b<0 よってb>0
ではないでしょうか??

投稿日時 - 2008-10-19 23:07:30

お礼

見落としていた部分がありました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-10-20 09:54:29

ANo.2

bが負なら実数解があるとき、二つの解のうちの一つが必ず正になってしまいますから、正である必要があります。

投稿日時 - 2008-10-19 22:58:19

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

投稿日時 - 2008-10-20 09:54:57

ANo.1

うーん、何年生の問題ですか?
実数部ということは虚数もならってるのですか?
虚数を知ってるなら、「もし解がある場合」というのは変で虚数を許すならば必ず解はあります。(1個かもしれませんが)

ということで、実数解が存在する条件は、
D=a^2-4b
が正ですよね。こいつが負ならば実根はないわけで、あなたが言うように実部は-a/2 になるので a>0 だけです。
ども実根があって負になるためには、
-a ± sqrt( a ^ 2 - 4b ) が両方とも負でないといけません。
こっちで b > 0 の条件が必要になります。
....ここから先はグラフを思い浮かべて解きます。

投稿日時 - 2008-10-19 22:52:10

お礼

一応今大学生です。。。上の人の解答で導くことができました。解答してくださり、ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-10-20 09:55:54

あなたにオススメの質問