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不等式の証明2

次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて実数を表す。
 10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2
 (2乗は^2と表記して良いのでしょうか)
 
 よろしくお願いします。
 数式の書き方も教えて下さい。
 

投稿日時 - 2008-10-23 11:41:16

QNo.4423179

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

こんな程度は一発で片が付く。

シュワルツの不等式というのがある。
(x^2+y^2+z^2)*(α^2+β^2+γ^2)≧(αx+βy+γz)^2.
但し、等号は、αx=βy=γzの時。

この不等式で、a=√2、b=√3、c=√5とし、x=a√2、y=b√3、z=c√5とするだけ。等号成立は?

投稿日時 - 2008-10-23 12:06:22

ANo.1

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回答(5)

ANo.5

ANO-1の書き込みミスに今頃になって気がついた。。。。笑

>但し、等号は、αx=βy=γzの時。

       ↓

但し、等号は、βx=αy、γx=αz、βz=γyが同時に成立する時。

投稿日時 - 2008-10-23 18:04:31

お礼

回答ありがとうございます。一人でわからない時、いつも詰まってしまっています。これからもよろしくお願いします。

投稿日時 - 2008-10-23 20:12:10

ANo.4

ちょつと気が付き難いだろうが。。。。。。?

左辺-右辺=6a^2-12ab-20ac+21b^2+25c^2-30bc=(6a^2-12ab+6b^2)+(15b^2-30bc+15c^2)+(10c^2-20ac+10a^2)=6*(a-b)^2+15*(b-c)^2+10*(c-a)^2≧0.
等号は、a=b=cの時。

不等式って一定の解法がないから辛いが、それが又楽しいところではある。
これは、平方式の和にするつもりで、abとbcとcaの係数に着目して変形できる。。。。。。。裏話だけど。。。。。笑

投稿日時 - 2008-10-23 14:29:48

ANo.3

正直に計算しても良い。

左辺-右辺=16a^2-4*(3b+5c)*a+(21b^2+25c^2-30bc)=16{a-(3b+5c)/8}^2+(75/4)*(b-c)^2≧0.
等号は、a=b=cの時。

投稿日時 - 2008-10-23 12:38:25

ANo.2

書き込みミス。。。。笑

>この不等式で、a=√2、b=√3、c=√5とし

     ↓

この不等式で、α=√2、β=√3、γ=√5とし

投稿日時 - 2008-10-23 12:22:08

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