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解決済みの質問

三角関数

y=-2sinθ-2cosθで0≦θ≦90°の範囲における最大値と最小値を求め、そのときのθの値も求めよという問題です。
y=-2sinθ-2cosθを合成すると2√2sin(θ+225°)と書いてあったのですが、このとき2√2sin(θ-135°)と変形してみると最小値のときのθ値が合わないのですが、2√2sin(θ-135°)と変形してはいけないのはなぜですか?

投稿日時 - 2008-11-19 18:44:26

QNo.4491772

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

>y=-2sinθ-2cosθを合成すると2√2sin(θ+225°)と書いてあったのですが
>2√2sin(θ-135°)と変形してはいけないのはなぜですか?

簡単な問題なので、どう解こうとさしたる違いはないんだが、ちょっと疑問に思うので書き込む。

数学の基本の一つに“より簡単な形で考える”というのがある。
従って、この問題も、y=-2√2*sin(θ+π/4)とするのがorthodoxだろう。
0≦θ≦π/2から、π/4≦θ+π/4≦3π/4で最大値・最小値を考えたらよい。
数字は小さい方が扱いやすいに決まってるだろう。

質問者はともかく、参考書(問題集?)もなんでそんな変形をするんだろう?

質問者の疑問への回答は他の人の通りだが、巷で氾濫する参考書や問題集の回答には、ちょつと疑問があるものが珍しくないので、それらを鵜呑みにしないように。
そして、それを見抜くには“実力”が必要になる。

投稿日時 - 2008-11-19 21:05:28

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回答(6)

ANo.5

ANo.4ですが、文の順番が入れ替わってしまったので訂正します。

2√2sin(θ+225°)はθ = 45°の時に最小値

2√2sin(θ+225°)
= 2√2sin(270°)
= -2√2

をとります。

2√2sin(θ-135°)もθ = 45°の時に最小値

2√2sin(θ-135°)
= 2√2sin(-90°)
= -2√2

をとります。
よってどちらもθ = 45°で最小値となるはずです。

> このとき2√2sin(θ-135°)と変形してみると最小値のときのθ値が合わないのですが、

具体的に、θの値は何になったのでしょうか?

投稿日時 - 2008-11-19 19:11:53

ANo.4

2√2sin(θ+225°)はθ = 45°の時に最小値

2√2sin(θ+225°)
= 2√2sin(270°)
= -2√2

をとります。

2√2sin(θ-135°)もθ = 45°の時に最小値

> このとき2√2sin(θ-135°)と変形してみると最小値のときのθ値が合わないのですが、

具体的に、θの値は何になったのでしょうか?
2√2sin(θ-135°)
= 2√2sin(-90°)
= -2√2

をとります。

よってどちらもθ = 45°で最小値となるはずです。

投稿日時 - 2008-11-19 19:09:33

ANo.3

こんばんは。

>>>2√2sin(θ-135°)と変形してはいけないのはなぜですか?

2√2sin(θ-135°) でもよいですよ。

三角関数は周期が360なのですから、整数nを置いて、
2√2sin(θ + 225 + 360n)
にするか
2√2sin(θ - 135 + 360n)
にするかは、自由です。

nの値を調節して、0≦θ≦90°の範囲に入るθを示せば
どちらでも同じ答えが出ます。


以上、ご参考になりましたら。

投稿日時 - 2008-11-19 19:04:15

ANo.2

「θ-135°」の範囲を間違えているのでは?

投稿日時 - 2008-11-19 18:54:43

ANo.1

「最小値のときのθ値が合わない」とはどういう意味でしょうか?
2√2sin(θ+225°) と 2√2sin(θ-135°) は本質的に同じ関数ですから, 角度の範囲を間違えなければ同じ結果に至るはずです.

投稿日時 - 2008-11-19 18:52:37