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微分方程式

次の微分方程式を解けという問題がわかりません。
y''+4y=sin2x
特性方程式s^2+4=0よりs=±2i(虚数解)
補助方程式の一般解はy=Asin2x+Bcos2x
与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、
これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、
特殊解を求めるために、
y1=ax^2*sin2xとおく
y1'=2a(xsin2x+x^2cos2x)
y1''=2a(sin2x+4xcos2x-2x^2sin2x)
これらを与方程式に代入すると
2asin2x+8axcos2x-4ax^2sin2x+4ax^2sin2x=sin2x
となってしまって解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか?

投稿日時 - 2008-11-29 21:43:34

QNo.4517213

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回答(1)

ANo.1

> 解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか?

> 与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、
> これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、
これは重複度1としないといけません。
何故なら, sin2x と cos2x は微分すると互いの関数になって、独立な特殊解として扱えないという事です。
なので、特殊解を仮に
y=x(a sin2x+b cos2x)とおいて、微分方程式に代入して
a,bを求めて下さい。
a=0, b=-1/4
と出てきます。

投稿日時 - 2008-11-29 23:30:51

お礼

またまたありがとうございます。
これで納得できました。
本当にありがとうございます。

投稿日時 - 2008-11-29 23:59:08