こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

ベクトル解析の速度ベクトルについて、

ベクトルの曲線の部分です。
加速度の接線成分は at=a・T で、(Tは単位接線ベクトル)、もっと簡単にすれば、at=dV/dt で計算するんです。

加速度の法線成分は an = a・n で、(nは単位法線ベクトル)。

写真の問題はatは簡単にできたが、anはどうしてもできないんです。なぜかというと、Tをさらに微分するのは無理だと思います。
今まで、何かぼくの考えが間違ったか、教えてください。anについて、ほかの簡単に計算できる方法はありませんか?教えてください~

大変申し訳ございませんが、この投稿に添付された画像や動画などは、「BIGLOBEなんでも相談室」ではご覧いただくことができません。 OKWAVEよりご覧ください。

マルチメディア機能とは?

投稿日時 - 2009-01-31 17:12:49

QNo.4677414

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

とりあえずr=(t,1/2*t^2,1/3*t^3)としたとき、速度ベクトルvはrのそれぞれの成分をtで微分すればよいので
v=(1,t,t^2)
となります。
( |v|=√(1+t^2+t^4) )

加速度の接線成分|at|は質問者様がおっしゃるように、速さ|v|をtで微分すればよいので
|at|=d|v|/dt=(t+2t^3)/√(1+t^2+t^4)
と計算出来ます。

加速度ベクトルaは加速度ベクトルの"接線ベクトル"atと"法線ベクトル"の足し算
a=at+an (注:ベクトルの足し算です。成分の足し算ではありませんよ)
と表すことが出来ますね。
加速度ベクトルは速度ベクトルの微分なのでa=(0,1,2t)です。

単位接線ベクトルTは速度ベクトルの単位ベクトル、すなわち
T=v/|v|=1/√(1+t^2+t^4)*(1,t,t^2)
と計算できるので結局加速度ベクトルの法線ベクトルanは
an=a-at=a-|at|*T
=(0,1,2t)-(t+2t^3)/√(1+t^2+t^4)*1/√(1+t^2+t^4)*(1,t,t^2)
と計算できます。

投稿日時 - 2009-01-31 18:04:22

ANo.1

このQ&Aは役に立ちましたか?

2人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(2)

ANo.2

T は、T = v/|v| によって、各成分が t の関数として書けますから、
更に t で微分することは可能です。
無理なのと、計算するのが面倒臭いのとは、全く違うことです。

an が求められなかったのは、T が微分できなかったからではなく、
n が分からなかったからではないでしょうか?
三次元曲線の「法線ベクトル」と言っても、接線に垂直な方向は
二次元あり、どの方向が法線方向だかわかりません。

実は、a = (at) T + (an) n を満たす単位ベクトル n を
曲線 r の「主法線ベクトル」と言い、むしろこの式によって
n を定義するのです。ですから、an を求める式は、
an = | a - (at) T | になります。この式に、dT/dt は出てきません。

主法線方向だけが法線方向ではない ことには、注意が必要です。

投稿日時 - 2009-02-01 03:29:28

あなたにオススメの質問