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解決済みの質問

積分と漸化式

添付した問題の(1)のIn+1について、上手く解けません。
Ioはx=tanθと置くことで解けたのですが、同様にして解いていくのでしょうか。
x=tanθとおくと
In=(tanθ)^2nとなるので
In+1=∫{0→π/4}(tanθ)^2n×(tanθ)^2dθ と変形して部分積分を使うのかと思ったのですが、tanθがある為うまく解けず、わからなくなってしまいました。

ヒントや考え方だけでも良いので教えてください。

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投稿日時 - 2009-02-02 19:20:04

QNo.4683565

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

(tanθ)^(2n)*(tanθ)^2=(tanθ)^(2n)*{1/(cosθ)^2-1}を使えば
I_(n+1)=∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ-In
となりますね。
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^(2n)(dtanθ/dθ) dθ
なので部分積分して
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^(2n+1) dθ - 2n∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ
から
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=1/(2n+1) ∫(tanθ)^(2n+1) dθ
となります。
結局
I_(n+1)=∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ-In
=1/(2n+1) ∫(tanθ)^(2n+1) dθ-In
までなりましたので、後は∫(tanθ)^(2n+1) dθが1となることを計算できれば、最終目標の式に到達できます。

とりあえずここから先はまたご自分で少し考えてみてください。

投稿日時 - 2009-02-02 19:52:33

お礼

丁寧な回答をありがとうございます!わかりました。なんとか無事に、答えまでたどり着くことができました!!本当にありがとうございました。

投稿日時 - 2009-02-02 20:14:36

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

ヒントだけ

x^2n/(1 + x^2)={x^2n + x^(2n-2) - x^(2n-2)}/(1 + x^2)
       ={x^2n + x^(2n-2)}/(1 + x^2) - x^(2n-2)/(1 + x^2)
       =x^(2n-2) - …

投稿日時 - 2009-02-02 19:35:05

お礼

素早い回答ありがとうございます!考えてみます!

投稿日時 - 2009-02-02 20:12:50

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