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解決済みの質問

2つの円の接線に関する問題

http://a-draw.com/contents/uploader2/src/up8603.jpg
初めまして、画像の通りなんですが、この点Kから接線までの距離の求め方について教えてください。
接線と点Kの距離は接線に対して垂直な距離です。
宜しくお願いします。

投稿日時 - 2009-06-29 10:58:14

QNo.5083524

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質問者が選んだベストアンサー

>最後の計算式で、sinφとcosφの2つが分からない値として出てきてしまいますが、sinφはどのように置き換えたら良いでしょうか。
(sinφ)^2の項は1-(cosφ)^2に置き換えます。
sinθの1次の項が残りますが、この項だけを左辺に持ってきて残りの項(定数項も含めて)を全て右辺に持ってきます。
そこから両辺を2乗すると左辺は(sinφ)^2の項だけになりますのでこれを1-(cosφ)^2に置き換えるとcosφだけの式が得られると思います。

投稿日時 - 2009-07-01 08:13:02

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございました。
遅くなりましたがありがとうございます!

投稿日時 - 2009-07-07 17:41:02

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回答(3)

ANo.2

>PQ^2=PH^2+QH^2→9(sinθ)^2+(5-cosθ)^2=4+(3-sinθ+2sinφ)^2+(5-3cosθ-2cosφ)^2
>↑の式で、9(sinθ)^2+(5-cosθ)^2=4+(3-sinθ+2sinφ)^2+(5-3cosθ-2cosφ)^2
>お手数かけてすみません、
>この部分について詳しく教えてください。
>9という数字はどこから出てきたのでしょうか。

Pの座標を(0,0)ととっていることを言っていませんでした。
P(0,0),Q(3sinθ,5-3cosθ)ですので
PQ^2=(3sinθ-0)^2+(5-3cosθ-0)^2
です。
左側の項から9(sinθ)^2が出てきます。
#1の中央、2番目の項が間違っています。
(5-cosθ)^2→(5-3cosθ)^2
です。ここに修正します。

投稿日時 - 2009-06-29 20:08:22

補足

細く説明ありがとうございます。
P座標からってことでしたか、とても分かりやすい説明で助かります。
最後のcosθ→3cosθは途中で気づきました。

最後の計算式で、sinφとcosφの2つが分からない値として出てきてしまいますが、sinφはどのように置き換えたら良いでしょうか。
sinθ+cosθ=1から
sinθ=√1-cosθに置き換えられますが、√がでてきてしまい分からなくなりました。

投稿日時 - 2009-06-30 12:21:03

ANo.1

円Pの接点をA、円Qの接点をBとします。
求める距離は∠APK=φとすると5(1-cosφ)となります。

QからAPにおろした垂線の足をHとします。
四角形QBAHは長方形ですからAH=QB=3,よって、PH=AP-AH=2となります。
∠HPK=φですから、H(-2sinφ,2cosφ)となります。
Qの座標は(3sinθ,5-3cosθ)であることと、△PQHが直角三角形であることから
PQ^2=PH^2+QH^2→9(sinθ)^2+(5-cosθ)^2=4+(3-sinθ+2sinφ)^2+(5-3cosθ-2cosφ)^2

この式からcosφを求めればよい。

投稿日時 - 2009-06-29 11:35:21

補足

makamra様

丁寧な回答ありがとうございます。
参考に解いているのですが、
PQ^2=PH^2+QH^2→9(sinθ)^2+(5-cosθ)^2=4+(3-sinθ+2sinφ)^2+(5-3cosθ-2cosφ)^2
↑の式で、9(sinθ)^2+(5-cosθ)^2=4+(3-sinθ+2sinφ)^2+(5-3cosθ-2cosφ)^2
お手数かけてすみません、
この部分について詳しく教えてください。
9という数字はどこから出てきたのでしょうか。

投稿日時 - 2009-06-29 12:37:20

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