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解決済みの質問

積分の定義からの計算

いつもお世話になっています。

独学で数学を勉強して、微分が終わり積分に入りました。
微分では基本的な関数(x^n, e^x, sin(x), cos(x), tan(x), log(x) )を
微分の定義から計算することができました。
積分も同じように、区分求積法で上記の関数を計算するところから
スタートすると思っていたのですが、
実際にやってみると tan(x), log(x) がどうしてもできません。

教科書やネットを見ても、微分と積分は逆だということを示してから、
それを使って積分の計算をするという流れになっているようです。

一方で、微分と積分が逆だとわかったのは、歴史的には後になってから
というような記述も見つけました。
とすると、やっぱり tan(x), log(x) を区分求積法で計算できないのは
自分ができていないだけのような気もします。


tan(x), log(x) は区分求積法で計算できないのでしょうか?
それとも、できるけども複雑なので、現在では微分と積分が逆ということを説明してから、
楽な方法で tan(x), log(x) などの積分を求めるという流れの説明になっているのでしょうか?

投稿日時 - 2009-07-26 14:42:27

QNo.5156850

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

「歴史的」には、tan や log のベキ級数展開を項別積分して、
出てきた結果の係数を睨んでいたら、その初等関数表示が
ナゼか解ってしまった~ というようなカッ飛んだ頭脳の人が
初期の微積分学を創ってきたようです。コーシーやリーマンが
話を整理整頓するのは、後代のことです。

投稿日時 - 2009-07-27 00:31:18

お礼

再度の回答ありがとうございます。

> その初等関数表示がナゼか解ってしまった~ というようなカッ飛んだ頭脳の人が
う~ん、となると高校卒業もぎりぎりだった私には難しそうですね。

sin, cos の積分を区分求積法で計算するときには
奇跡が起こって何とか計算することができましたが、
この辺りであきらめて教科書の流れに沿って進めていこうと思います。

これですっきりと先へ進めそうです。
本当にありがとうございました。

投稿日時 - 2009-07-27 01:53:23

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回答(2)

ANo.1

積分の定義を確認してみてください。
「区分求積法」といっても、教科書の例題にあるような
区間を等分割する場合の極限が求まっただけでは、
積分できたとは言えません。それは必要条件に過ぎない。

リーマン積分の定義に直に従うためには、
区間の任意の分割に対して、分割数→∞ の極限が
同じ値に収束することを示さねばならず、
具体的な計算を行うのは現実的でないのです。

投稿日時 - 2009-07-26 22:39:41

お礼

回答ありがとうございます。

> 区間を等分割する場合の極限が求まっただけでは、積分できたとは言えません。
自分で買ってみた教科書は簡単なやつで載っていなかったので
後回しにしていたのですが、自分の中で勝手に

一般的な連続(?)な関数で
「区間の任意の分割に対して、分割数→∞ の極限が同じ値に収束する」
を証明したあと、このことを使って
等分割の場合で具体的に計算をしていく、という流れだと思っていました。

やはり、現在の教科書の説明通り、
歴史的にいろんな関数の面積を求める段階では
tan(x), log(x) あたりの面積は求めることはできず、
微分と積分の関係が分かって初めて、
tan, log の原始関数が分かったと言うことでしょうか?

投稿日時 - 2009-07-26 23:26:16

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