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ベクトルの問題です

平面上の4点OABCがOA・OB=1,OB・OC=4,OC・OA=9を満たしている。点Cが直線AB上にあるとき次が成立することを示せ。(1)点Cが線分AB上にあるならば2<|OC|<3 (2)点Cが線分AB上にないならば|OC|≧6 (OA,OB,OCと書きましたがすべてベクトルを意味します。)おねがいします。

投稿日時 - 2009-08-10 10:07:18

QNo.5195631

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回答(2)

ANo.2

結構難しかったです。
質問者様はどこまでやられましたか。

方針は#1に書かれているのと同じです。
でも思い込みに引きづられてしまうと行き詰まります。
AB線上にあって
AB線分上にある場合とない場合との区別が「?」と思うのです。内側の領域と外側の領域が不連続というのがピンとこないのですね。

結果だけ書きます。
OC=xOA+yOBとします。

xy=0の場合、|OC|=6です。

xy≠0の時 |OC|^2=9x+4y

xyの存在範囲は
(1)x<0、9x+4y>36
(2)x>0、y>0、9x+4y<36
(3)x>4、9x+4y>36

ここでx+y=1とします。
|OC|^2=9x+4y=5x+4です。
(1)x+y=1の直線は領域(1)を通りません。
(2)x+y=1ですから0<x<1です。
  4<|OC|^2<9 2<|OC|<3
(3)x+y=1は 9x+4y=36と交点を持ちます。
  この領域内では9x+4y>36ですから|OC|>6です。

#1に
|OA|^2 ≧ 0, |OB|^2 ≧ 0, |OA|^2 |OB|^2 ≧ 1
とあります。
等号は不要です。
内積≠0ですから OA≠0、OB≠0,OC≠0 です。
(点A、B、Cが点Oに重なる可能性を考える必要はないだろうと言うことでもあります。)
ここで等号を入れられたのは問題文の中にある|OC|≧6の等号に引きづられたからでしょう。
ところがこの等号はxy=0の時には|OC|=6となるというところから来ているものです。私もここでは混乱しました。

x、y平面で領域のグラフを描いてx+y=1の存在範囲を調べるとわかりやすいです。

投稿日時 - 2009-08-12 12:49:58

ANo.1

つらつら手計算した感じでは, 「C が直線 AB 上にある」ことから
OC = tOA + (1-t)OB
とおき, OA・OB=1 を使って OB・OC=4, OC・OA=9 を t (と|OA|, |OB|) の式で表します. そして
|OA|^2 ≧ 0, |OB|^2 ≧ 0, |OA|^2 |OB|^2 ≧ 1
から t の範囲を限定します. ここまでは (1), (2) と無関係に処理できて, ここから (1) と (2) の場合に分ければ OK.

投稿日時 - 2009-08-10 18:02:28

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