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数学の問題です☆

△ABCが点Oを中心とする半径1の円に内接している。Oから辺AB,BC,CAに下ろした垂線をそれぞれOP,OQ,ORとしたとき、3OPベクトル+2OQベクトル+ORベクトル=0ベクトルをみたしている。
このとき、OAベクトル,OBベクトル,OCベクトルは

(ア)OAベクトル+(イ)OBベクトル+(ウ)OCベクトル=0
をみたし、OAベクトルとOBベクトルの内積は(エ)(オ)/(カ)である。

ただし、(ア)=(イ)=(ウ)=0ではない。

という問題です。
解き方と答えを教えて下さい♪

投稿日時 - 2009-08-13 14:12:55

QNo.5204095

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回答(3)

ANo.3

再三訂正すいません。やっぱり答え変わってきます。
エオ=-4です。
解いてて答えちがうぞ・・とおこってたらごめんなさい。

投稿日時 - 2009-08-13 16:28:05

ANo.2

先ほど答えたものの訂正です。
下のほうで両辺2乗した式の入力が間違ってました。
16|OA|+ 40 OA・OB+ 25|OB|= 9|OC|
でした。答えは変わりません。
どうもすみません。

投稿日時 - 2009-08-13 15:49:02

お礼

ありがとうございました♪すごくわかりやすかったです。
また、分からない問題があったらよろしくお願いします☆

投稿日時 - 2009-08-13 16:15:17

ANo.1

答えだけ先に。問題のレベルと空欄の感じからセンターの問題っぽい感じなのでそれにあわせると
(ア)4(イ)5(ウ)3(エオ)=-1(カ)=5
となりました。(ほかの人のも参照してください。間違ってたら本当にごめんなさい。)
(解き方)
一個目の式は与えられた条件式の式変形の問題です。
OP,OQ,ORの各ベクトルをOA、OB、OCベクトルを使って表しします。
注目するべき点はOA=OB=OC=(円の半径)=1より、
(1)△OAB、△OBC、△OCAともに二等辺三角形であること
(2)二等辺三角形の頂点からおろした垂線は底辺を二等分すること
です。そうすると例えばOPベクトルは
OPベクトル=OAベクトル+APベクトル
      =OAベクトル+1/2ABベクトル
      =OAベクトル+1/2(OBベクトルーOAベクトル)
      =1/2OAベクトル+1/2OBベクトル
と表せます。OQ,ORベクトルも同様にして
OQベクトル=1/2OBベクトル+1/2OCベクトル
ORベクトル=1/2OAベクトル+1/2OCベクトル
こうして表されたOP,OQ,ORの各ベクトルを条件式に代入して整理してやると
4/2OAベクトル+5/2OBベクトル+3/2OCベクトル=0
分母払って
4OAベクトル+5OBベクトル+3OCベクトル=0・・(*)
となります。
二個目OAベクトルとOBベクトルの内積を求める問題ですが、普通に内積の公式ではできません。
(*)を式変形します。
4OAベクトル+5OBベクトル=ー3OCベクトルとし
両辺2乗します。
16|OA|+OA・OB+|OB|=9|OC|
(|OA|、|OB|、|OC|はともに2乗になっています。)
OA=OB=OC=(円の半径)=1なので
|OA|=|OB|=|OC|=1
代入して整理して整理するとOAベクトル・OBベクトル=-1/5
となります。
図を描いてみるといいと思います。参考になれば幸いです。

投稿日時 - 2009-08-13 15:42:46

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