こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

締切り済みの質問

楕円体の表面積

楕円面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1で囲まれる立体について体積,表面積を求めよ.という問題を解いています.
体積は極座標に変数変換して,容易に4πabc/3と求まります.表面積についてですが模範解答では,
「楕円体の主軸のうちでaを基準にすると,b,cは
b=βa,c=γa (β,γは定数)
と表せる.よって体積をVとすると
V=4πβγa^3/3
となる.これをaについて微分すると表面積Sは
S=4πβγa^2
β,γを上式に当てはめると
S=4πa^4/bc 」

となっています.ここで分からないのは,体積を微分して表面積を出すところです.たしかに,球の場合(a=b=c)は厚みdaの薄皮を重ねていけば体積になります.しかし楕円体の場合,薄皮の厚みは一定ではないのでこの方法で正しいのでしょうか?
また,楕円体の表面積について調べてみると一般には複雑な式で計算されるようです.

さらに,解答最後の方の,Sにβ,γを当てはめるところで,β=b/a,γ=c/aなので
S=4πbc になるのでは?と思います.しかしこれではSはaに影響されないことになるのでおかしいとは思うのですが.


質問が多くすみませんが,どなたか教えていただけませんか?

投稿日時 - 2009-08-20 23:58:20

QNo.5223912

困ってます

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(3)

ANo.3

参考URLその他によると、かなり複雑になる気がします。なんかその模範解答、おかしくないですか?

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/daenmen.htm

投稿日時 - 2009-08-22 00:54:46

補足

やはり,この模範解答は間違いですよね.

投稿日時 - 2009-08-23 10:44:55

ANo.2

おお, 確かに最後の運算もおかしい. 言われる通り S = 4πbc になっちゃいますね.

投稿日時 - 2009-08-21 23:51:13

補足

この問題とは別の問題でも模範解答に間違いがあっったので,この模範解答も間違いなのでしょう・・・.

投稿日時 - 2009-08-23 10:43:20

ANo.1

冷静に考えれば一瞬でわかるはずですが, 表面積は a, b, c に関して対称じゃないといけないですよね.

投稿日時 - 2009-08-21 01:21:53

あなたにオススメの質問