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解決済みの質問

最大値を求める別解

x^2+y^2+z^2=a^2 のとき、xy+yz+zx の最大値を求めよ。
ラグランジュの乗数とコーシーシュワルツの不等式の方法でない解答の仕方はないでしょうか。方針(ヒント)だけでよいです。

投稿日時 - 2009-10-07 10:31:52

QNo.5348302

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

たいした問題ではない。

>方針(ヒント)だけでよいです

考えられる方針は2つある。

(解法-1)
x+y+z=m、xy+yz+zx =n として、条件から、m^2=2n+a^2である。
xyz=k とすると、xとyとzは f(t)=t^3-mt^2+nt-k=0の3つの実数解から、f´(t)=0の判別式≧0として、求める。
ここから、mの値の範囲は定まるが、これは必要条件に過ぎないから、十分条件でもある事を確認する。

(解法-2)
x+y+z=m、xy+yz+zx =n として、条件から、m^2=2n+a^2である。 ‥‥と、ここまでは同じだが、今度は2次方程式と見よう。

y+z=m-x、n=yz+x(y+z)とすると、2n=m^2-a^2.
yとzは 2t^2-2*(m-x)t+2x^2-2mx+m^2-a^2=0 の2つの実数解から 判別式≧0。
xの不等式が実数解を持つから、再度 判別式≧0。これでmの値の範囲が定まる。 

ここまで来たら、分るだろう。続きは自分でやって。

投稿日時 - 2009-10-07 11:33:52

お礼

解法-1,2とも、確認できました。ありがとうございました。
1次関数とみなして、できないのか考えてしまいましたが、解法-1,2のように2次、3次方程式として考えればよかったのですね。
勉強になりました。

投稿日時 - 2009-10-07 13:42:06

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回答(2)

ANo.2

ラグランジュの乗数とコーシーシュワルツの不等式の方法というのが,どういう方法なのか分かりませんが,この問題は
a^2-(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=(1/2)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)
≧0
と言うことから明らかなのでは?
また,幾何的に考えると,まず対称性からx≧0,y≧0,z≧0で考えることにして
x^2+y^2+z^2=a^2は原点中心半径aの球であり,xy+yz+zxはそれに内接する直方体の表面積の半分ですから,やはりその最大値は明らかで直方体が実は立方体のときですね。

投稿日時 - 2009-10-07 12:28:17

補足

a^2>=xy+yz+zxは示されるが、最大がa^2といってよいのか・・・

投稿日時 - 2009-10-07 13:32:54

お礼

すみません。a~2が最大ですね。

投稿日時 - 2009-10-08 09:03:27

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