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解決済みの質問

円錐の慣性モーメントを求めると・・・

円錐の慣性モーメントを求めると・・・

どんな座標系で求めても一致するはずなのですがデカルト座標で計算したら正解とは異なる結果がでてしまいました。
自分でデカルト座標で計算したものを書きますのでどこが間違ってるのか指摘してください。
円錐 高さh 底面の半径 Rとして底面にx、y座標、底面積の中心から頂点へ向かうを軸をz座標とすると

I=∬ρ(x^2 + y^2)dV=∬∫ρ(x^2 + y^2)dxdydz

これをまずxについて-R(z-h)/h~R(z-h)/hまで積分する


=2ρ∬[1/3x^3 + xy^2]dydz 範囲x=0~R(z-h)/h

=2ρ∬1/3{R(z-h)/h}^3 + {R(z-h)/h}y^2dydz

次にyについて同様に-R(z-h)/h~R(z-h)/hまで積分する

=4ρ∫[1/3{R(z-h)/h}^3 y+ 1/3{R(z-h)/h}y^3]dz 範囲y=0~R(z-h)/h

=4ρ∫1/3{R(z-h)/h}^4+ 1/3{R(z-h)/h}y^4dz

=4ρ∫2/3{R(z-h)/h}^4dz

最後にzについて0~hで積分すると

=4ρ[2/3{R(z-h)/h}^4]

=8/15ρR^4h


となり正しい慣性モーメントπ/10ρR^4hとは異なってしまいます。
この式変形どこが間違ってますでしょうか?積分計算のやり方が間違ってるのかなぁ( ̄ー ̄?)それとも範囲のとりかたか。。

投稿日時 - 2010-02-01 02:00:25

QNo.5639760

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>これをまずxについて-R(z-h)/h~R(z-h)/hまで積分する
>次にyについて同様に-R(z-h)/h~R(z-h)/hまで積分する

-r≦x≦r
-r≦y≦r
で表される領域は半径rの円板ではなく一辺2rの正方形です。

投稿日時 - 2010-02-01 04:39:49

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回答(2)

ANo.2

こんにちは。

密度ρ、半径r、厚さdz の円盤の慣性モーメントは、
dz・∫[x=0⇒r](密度ρ、1周2πx、太さdxの輪の質量)×r^2
 = dz∫[x=0⇒r](ρ・2πxdx)r^2
 = 2πρdz∫[x=0⇒r]x^3dx
 = 2πρdz・r^4/4
 = πρr^4/2・dz

最後にzについて積分して
πρR^4h/10
となります。


重積分には疎い私ですが、
∫ρ(x^2 + y^2)dxdy
でxとyについてそれぞれ積分するのは、おそらくまずいと思います。
なぜならば、円の円周(x^2+y^2)とx(あるいはy)は、垂直の関係にないからです。
たとえるならば、三角形の面積を求めるとき、垂直な高さではなく斜辺の長さを掛け算してしまっているようなものだと思います。
(上述の私の計算の仕方で、「1周2πx、太さdxの輪の質量」において、太さ方向が1周の長さ方向と常に垂直の関係にあることに注目してください。)

投稿日時 - 2010-02-01 05:33:21

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