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解決済みの質問

三角関数の問題がわかりません・・・

三角関数の問題がわかりません・・・

関数f(θ)=6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1について、

(1)sin2θ+cos2θ=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。

(2)f(θ)をtを用いて表せ。

(3)f(θ)の最大値を求めよ。


という問題なのですが、
丸投げな質問ですみません。ですが問題がさっぱり?で解こうにも解けませんでした。
この問題のヒントとして
(2)は
f(θ)=sin2θ+cos2θ+2sin2θcos2θ

と書いてあったのですがこれも?でした。どうか解き方を教えてください。お願いします!

投稿日時 - 2010-04-25 22:33:11

QNo.5851532

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質問者が選んだベストアンサー

(1)sin2θ+cos2θ=tはθに制限がないとき単振動の合成より
t=√2sin(2θ+π/4)よって
-√2≦t≦√2
(2)倍角公式より
6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1
=3sin2θ-4sin2θ(sin^2θ)+cos2θ
=sin2θ(3-4sin^2θ)+cos2θ
=sin2θ(4cos^2θ-1)+cos2θ
=sin2θ(4cos^2θ-2+1)+cos2θ
=sin2θ(2cos2θ+1)+cos2θ
=2sin2θcos2θ+sin2θ+cos2θ
=2sin2θcos2θ+t

sin2θ+cos2θ=tより
t^2=1+2sin2θcos2θ
2sin2θcos2θ=t^2-1

よって
f(θ)=t^2+t-1

(3)-√2≦t≦√2のとき
f(θ)=t^2+t-1
のグラフを書いて考えればよい。
1-√2≦f(θ)≦1+√2

投稿日時 - 2010-04-25 23:19:27

お礼

ありがとうございます!!

投稿日時 - 2010-04-25 23:35:14

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