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高2数学:図形と方程式

高2数学:図形と方程式
誰かわかる方教えてください(゜o゜;)

長方形ABCDと同じ平面上の点をPとする。このとき、等式PA^2+PC^2=PB^2+PD^2が成り立つことを証明せよ。

なるべくわかりやすい証明をお願いします…(つд`)汗

投稿日時 - 2010-04-30 21:39:40

QNo.5862645

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質問者が選んだベストアンサー

点A,B,C,D,Pの座標をそれぞれ(0,y),(0,0),(x,0),(x,y),(a,b)とおくと,
PA^2=a^2+(y-b)^2,PB^2=a^2+b^2,PC^2=(x-a)^2+b^2,
PD^2=(x-a)^2+(y-b)^2となるから,
PA^2+PC^2=a^2+(y-b)^2+(x-a)^2+b^2=a^2+b^2+(x-a)^2+(y-b)^2
PB^2+PD^2=a^2+b^2+(x-a)^2+(y-b)^2
よって等式PA^2+PC^2=PB^2+PD^2が成り立つことが証明された。

投稿日時 - 2010-04-30 22:11:41

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回答(2)

ANo.2

点Pが長方形ABCDの辺ABの外側にあるとします。
点Pを通って辺ABに平行な直線を引き、その直線へ
点A、Bからそれぞれ垂線を下ろし、その交点をそれぞれ
点A'、B'とすると、四角形ABB'A'は長方形になります。
ピタゴラスの定理より、
PA^2=PA'^2+A'A^2
PC^2=PB'^2+B'C^2
PB^2=PB'^2+B'B^2
PD^2=PA'^2+A'D^2
となり、
四角形ABCD、ABB'Aは長方形であることから
A'A=B'Bであり、AD=BCであることから
A'D=A'A+AD=B'B+BC=B'C
となります。
これより、
PA^2+PC^2=PA'^2+A'A^2+PB'^2+B'C^2
         =PA'^2+A'A^2+PB'^2+A'D^2
PB^2+PD^2=PB'^2+B'B^2+PA'^2+A'D^2
         =PB'^2+A'A^2+PA'^2+A'D^2
         =PA'^2+A'A^2+PB'^2+A'D^2
となり、
PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
ということになります。

投稿日時 - 2010-04-30 22:48:21

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