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締切り済みの質問

長さL、質量Mの棒の両端が長さLの糸で天井に固定されている。静止状態で

長さL、質量Mの棒の両端が長さLの糸で天井に固定されている。静止状態での糸の間隔もLであるとして、微小振動の周期を計算せよ。(重力加速度はgとする)

という問題でラグランジュ関数から運動方程式を求め、微小振動を求めたいのですが、ラグランジュ関数をどのように求めればよいかわかりません。(棒の慣性モーメントを考えて解くみたいです)
自分なりに(φ、ψ、θ)の自由度が3と考えて、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを計算しようとしたのですが、どうもうまくいきません。

どなたか詳しい方よろしくお願いします。

投稿日時 - 2010-06-11 18:44:44

QNo.5961363

困ってます

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回答(3)

ANo.3

>…その微小振動は1質点のときと同じω=√(g/L)でよいのでしょうか?

重心の運動を考えれば,同じであるといえると思います。これらの場合,重心周りの回転は起こらないので,1質点の単振子と同等といえます。

投稿日時 - 2010-06-12 17:09:35

お礼

本当にありがとうございました。

投稿日時 - 2010-06-12 17:11:41

ANo.2

方針が合っているか確信のない中での議論にはなりますが…

図のように考えて,θ,φが微小であることを考慮すれば,
Lθ = L/2・φ ∴θ = φ/2

方位角変位φのとき,支点の高さを基準点として棒の重心座標は,-Lcosθ
したがって,ラグランジアンは
L = 1/2・1/12・ML^2・φ'^2 + MgLcosθ
近似を用いて定数をはぶけば,
L = 1/24・ML^2・φ'^2 - MgLθ^2/2 = 1/24・ML^2・φ'^2 - 1/8・MgLφ^2

となると思います。

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投稿日時 - 2010-06-12 12:19:26

補足

回答ありがとうございます。理解することができました。
あと、x軸に沿った並進運動とy軸に沿った並進運動を考えたとき、その微小振動は1質点のときと同じω=√(g/L)でよいのでしょうか?

何度もすみません。

投稿日時 - 2010-06-12 14:20:51

ANo.1

あまり自信はありませんが,おおまかな方針のみ示してみます。

自由度が3ですから,規準振動が3つあるのではないかと考えてみました。

(1) つりあい位置の糸を含む平面上での振動
(2) (1)の平面に垂直な方向の振動
(3) 重心周りのねじれ振動

3つの規準振動数によるモードの重ね合わせになるのではないでしょうか?
(1)と(2)は縮退し,棒の慣性モーメントがかかわるのは(3)だけになると思います。

投稿日時 - 2010-06-12 00:52:46

補足

(1)と(2)の振動は1質点の場合と同じように考えてよいのでしょうか?
あと、(3)の重心周りのねじれ振動は重力が関わってくると思うのですが、回転の運動方程式に重力を含んだ式にすることができません。

ご教授いただけないでしょうか

投稿日時 - 2010-06-12 11:07:16

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