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平面波について

平面波について

3次元である1点で発生した球面波は波源から十分に離れたところでは、近似的に位相が同一の面、つまり波面が平面な波となる。
とあるんですが、球面波とはなんですか?平面波とはなんですか?どうして位相が同一の面なんでしょうか?

また、Ψ(r,t)=Aexp[i(k・r-ωt)],r=(x,y,z)は波面上の任意の点の位置ベクトル,k=(kx,ky,kz)は波数ベクトルとあり、平面波ではΨ(r)=一定の点は、kxx+kyy+kzz=一定の平面になっているので、原点を通る波面kxx+kyy+kzz=0から一波長離れた波面kxx+kyy+kzz=2πの距離、つまり波長λは
λ=2π/√(kx^2+ky^2+kz^2)=2π/|k|
とあるんですが、平面波ではΨ(r)=一定の点は、kxx+kyy+kzz=一定の平面になっているのはなんでですか?なぜ原点を通る波面kxx+kyy+kzz=0から一波長離れた波面は2πの距離なんでしょうか?λ=2π/√(kx^2+ky^2+kz^2)=2π/|k|はどのように計算したらこうなるんでしょうか?

意味が分りません。一番分りやすい方法で教えてください。

投稿日時 - 2010-06-12 20:54:26

QNo.5963900

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>球面波とはなんですか?平面波とはなんですか?

位相が一定である面の形状が平面である波が平面波、球である波が球面波です。
以下同一時刻で考えることにし、tは固定して取り扱います。

平面波の式はΨ(r,t)=Aexp[i(k・r-ωt)] 
(k、rはベクトルで、k・r=kx x+ky y+kz z)

この場合、位相が等しいとは、k・r-ωtがある定数になるということで、時間は一定なので、k・r=kx x+ky y+kz z=定数ということになります。

k・rの意味を考えてみると、kとrのなす角をθとするとk・r=定数ということは、

k・r=|k||r|cosθ=定数

|k|は波長で決まる定数なので、この式は|r|cosθ=定数を意味していて、作図してみれば容易にわかりますが、|r|cosθ=定数を満たすx,y,zはkベクトルの方向に直交する平面上の点になります。すなわち、位相が一定の面=波面が平面になるので、この式で記述される波は平面波と呼ばれます。波は波面に直交する方向に進むので、波が進む向きはkベクトルの向きです。

>なぜ原点を通る波面kxx+kyy+kzz=0から一波長離れた波面は2πの距離なんでしょうか?

「2πの距離」ではありませんね。波長λだけ離れた二つの波面間の位相差が2πです。
波が一波長進むと位相が2π進むというのは波の基礎ですね。

球面波の式はΨ(r,t)=Aexp[i(kr-ωt)]/r 
(k、rはスカラーで、r=√[x^2+y^2+z^2])

同様に考えれば、位相が一定の面とはkr-ωt=一定の面で、kもωもtも一定ですから、kr-ωt=一定はr=一定を意味します。すなわち、

r=√[x^2+y^2+z^2]=一定。

つまり、この式の場合は、位相が一定の面=波面は半径rの球になります。なので、この式で表す波を球面波と呼びます。

>λ=2π/√(kx^2+ky^2+kz^2)=2π/|k|はどのように計算したらこうなるんでしょうか?

これは定義です。波数ベクトルkの定義は、

大きさが2π/λで波の進行方向を向くベクトル

です。

が、その文章に沿って回答すれば、上述のとおりk・r=|k||r|cosθで、波面間の距離は|r|cosθなので、波面がλ進んだということは|r|cosθ=λ。このときにk・r=2πなので、

k・r=|k||r|cosθ=|k|λ=2π  ∴ λ=2π/|k|

投稿日時 - 2010-06-12 22:13:48

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2010-06-14 11:58:50

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