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(1)ルジャンドルの陪微分方程式

(1)ルジャンドルの陪微分方程式
(1-z^2)・(d^2w/dz^2)-2z・(dw/dz)+{l(l+1)-(m^2/1-z^2)}w=0
において,
w(z) = (1-z^2)^(m/2)・u(z)
とおき,u(z) の微分方程式
(1-z^2)・(d^2w/dz^2)-2・(m+1)・z・(dw/dz)+{l(l-m)(l+m+1)}u=0
を導出して下さい.

(2)方程式
(1-z^2)・(d^2w/dz^2)-2・(m+1)・z・(dw/dz)+{l(l-m)(l+m+1)}u=0
のz = 0 のまわりのベキ級数解のanzats:
u(z) =(0→∞)Σan・z^n
に対し,係数の方程式
(n + 1)(n + 2)an +2+ (l - m - n)(l + m + n + 1)an = 0, (∀n = 0, 1, 2, . . .)
が得られることを示して下さい.
anや an+2 は a・nではなく、a の順番を表しています。

(3)(d^m/dz^m)・Pl(z) が
(1-z^2)・(d^2w/dz^2)-2・(m+1)・z・(dw/dz)+{l(l-m)(l+m+1)}u=0
の解となることを示せ.([ヒント] 計算にはライプニッツ規則を利用す
るとよい.)

投稿日時 - 2010-07-01 21:38:31

QNo.6008838

困ってます

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回答(1)

ANo.1

(1)
代入して計算するだけです。

(2)
まずライプニッツの規則を確認。
D(n)(uv)=Σ[k=0,n]C[n,k]D(k)uD(n-k)v.
ただしD(n)はn回微分演算子を表す。

代入して、n回微分する。
そして、両辺の定数項を比べる。

(3)
Pl(z)が未定義です。

投稿日時 - 2010-07-24 22:50:14

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