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空間ベクトルの問題

空間ベクトルの問題を教えて下さい!

一辺の長さが1の正四面体がある。点Dを、B、C、Dがこの順にあり、かつ∠ODC=30゜となるようにとる。また、直線AB上にAPベクトル=aABベクトル(aは実数)となる点Pをとり、線分DPを1:2に内分する点をQとする。

(1)OAベクトル・OBベクトル=ア/イ、OBベクトル・ODベクトル=ウ
であり、
ODベクトル=エOBベクトル+オOCベクトル
である。
またOQベクトル=(カ-キ)/クOAベクトル+(ケ-コ)/サOBベクトル+シ/スOCベクトル
と表せるから、a=セのとき、点Qは線分ACを1:ソ/タ に外分する。

(2)|OQ|ベクトルの二乗=チ/ツ(a^2-テa+トナ)
であるから、|OQ|ベクトルが最小となるのはa=ニ/ヌのときであり、このとき最小値は√ネノ/ハである。

ア~オは自分で調べて解いたのですが、その後が分かりません(T_T)

答えが手元に無いので、簡単で良いので解説を付けて教えていただけるとありがたいです

投稿日時 - 2010-11-11 04:22:26

QNo.6311470

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 見づらくなりますので「ベクトル」という語の表記は省略します。

(1) OA・OB=OB・OC=OC・OA=1×1×cos60°=1/2
  OB・OD=0   (∵ ∠DOB=90° (∵ ∠OCB=2∠ODB=60° と 円周角と中心角の定理から)
  OD=OB+BD=OB+2BC=OB+2(OC-OB)=-OB+2OC

  OP=OA+AP=OA+aAB=OA+a(OB-OA)=(1-a)OA+aOB
  OQ=(2/3)OD+(1/3)OP=(2/3)(-OB+2OC)+(1/3){(1-a)OA+aOB}=(1-a)/3 OA+(a-2)/3 OB +(4/3)OC

 点Qが直線AC上にあるとき OQのOBの成分は0となるので a=2
 このとき OQ=(-1/3)OA+(4/3)OC となるので 点Qは 線分ACを 4:1=1:(1/4) に外分する。


(2)
|OQ|^2
={1-a)/3 OA+(a-2)/3 OB +(4/3)OC}^2
=(1/9){(1-a)^2+(a-2)^2+16}+(1/9)(1/2)[(1-a)(a-2)+4{(1-a)+(a-2)}]  (∵ |OA|=|OB|=|OC|=1, OA・OB=OB・OC=OC・OA=1/2 )
=(1/6)(a^2-3a+12)

=(1/6)(a-3/2)^2+13/8

 従って、a=3/2 のとき|OQ|は最小になって この最小値は √(13/8)=√26/4 となります。

投稿日時 - 2010-11-11 05:12:54

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