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解決済みの質問

数学の区分求積の問題です

lim(n→∞)[1/n+n/(n^2+1)+……+n/{n^2+(n-1)^2}]の極限値を求める問題についてです。

私は
=lim(n→∞)1/n[1+n^2/(n^2+1)+……+n^2/{n^2+(n+1)^2}]
=lim(n→∞)1/n + lim(n→∞)1/n[n^2/(n^2+1)+……+n^2/{n^2+(n+1)^2}]
とし、後ろの項は区分求積の求め方(?)からπ/4、lim(n→∞)1/nは0に収束するので答えはπ/4
としたのですが、解き方はこれで大丈夫でしょうか?
いまいちよく理解できていない範囲なので、間違いなどあったら教えていただきたいです!

投稿日時 - 2010-11-17 20:26:32

QNo.6326190

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 項は分けずにまとめて区分求積したほうが簡潔に求められます。

 (与式)
=lim[n→∞] Σ[k=0→n-1] n/(n^2+k^2)
=lim[n→∞] (1/n)Σ[k=0→n-1] 1/{1+(k/n)^2}
=∫[x=0→1] 1/(1+x^2) dx
=∫[θ=0→π/4] dθ      (x=tanθ で置換。)
=π/4

投稿日時 - 2010-11-17 20:46:40

お礼

最初の項をn/n^2と見れば一発だったんですね!
先に1/nを前に出すことで逆にこんがらがってしまいました(笑)
回答ありがとうございました!

投稿日時 - 2010-11-17 21:05:45

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