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解決済みの質問

不定積分は途中経過によって結果が変わりますか?

(1)x/(2x+3)^2
(2)(tan x)^3
を積分せよ.という問題で,解答と自分の答えがありません.

(1)=x*{-1/2(2x+3)}'より部分積分の方法を用いて -x/{2(2x+3)}+log|2x+3|/4+C と出しました.
しかし,問題集の解答(2x+3=tとする方法)には {log|2x+3|+3/(2x+3)}/4+C とありました.

(2)=(sin x)^2*{1/2(cos x)^2}'より部分積分を用いて {(tan x)^2}/2+log|cos x|+C と出しました
しかし,問題集の解答((sin x)^2=1-(cos x)^2とする方法)には log|cos x|+1/{2(cos x)^2}+Cとありました.

どちらの問題のどちらの答えも微分すると(1),(2)に戻るのですが,どちらも正解ですか?

投稿日時 - 2010-11-28 10:42:00

QNo.6348950

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質問者が選んだベストアンサー

 どちらも見かけの形が異なるだけで 正解です。


(1) 質問者さんの方法で積分すると -x/{2(2x+3)} という項が出てきていますが、分子の -x を分母の 2x+3 で割る(多項式のわり算)と
  -x/{2(2x+3)}
=(-1/2)*x/(2x+3)
=(-1/2){(1/2)(2x+3)-3/2)}/(2x+3)
=(-1/2){1/2 -(3/2)/(2x+3)}
=-1/4+3/{4(2x+3)}
→+3/{4(2x+3)}    ← -1/4 は積分定数Cに吸収させて省略。
となって一致しますよ。


(2) 質問者さんの方法で積分すると {(tan x)^2}/2 という項が出てきますが、ここで公式 tan(x)^2+1=1/cos(x)^2 を使うと、
  {(tan x)^2}/2
={1/cos(x)^2-1}/2
=1/{2cos(x)^2}-1/2
=1/{2cos(x)^2}     ← -1/2 は積分定数Cに吸収
となって、これも一致します。

 よろしければ参考にしてください。

投稿日時 - 2010-11-28 11:25:03

お礼

ありがとうございます.
式を変形させて定数は積分定数をCに吸収させれば形とが同じになるのですね.
これからもよろしくお願いします.

投稿日時 - 2010-11-28 20:04:26

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回答(2)

ANo.1

1番は貴方の計算が正しいですね。2番の貴方の運算は2乘と3乘を取り違えていませんか?

投稿日時 - 2010-11-28 11:22:39

お礼

ありがとうございます.
もう一度してみたのですがやはり質問どおりになってしまいます.
これからもよろしくお願いします.

投稿日時 - 2010-11-28 20:03:33

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